1、2017年广东省清远市华侨中学高考数学一模试卷（理科）一、择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=x|x27，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是（）A3B4C5D62在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设xR，向量，且，则=（）ABC10D4高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环
2、境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（）A2楼B3楼C4楼D8楼5函数的值域为（）ABC2，2D1，16如图所示的程序框图，若f（x）=logx，g（x）=lnx，输入x=2016，则输出的h（x）=（）A2016B2017Clog2016Dln20167在ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=，且bcosC=3ccosB，则的值为（）ABCD8函数f（x）的导函数f（x），对xR，都有f（x）f（x）成立，若f（2）=e2，则不等式f（x）ex的解是（）A（2，+）B（0，1）C（1，+）D（0，ln2）9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A50B50.5C
3、51.5D6010用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）ABCD11设双曲线=1（a0，b0）的右焦点F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=+（，R），=，则该双曲线的离心率为（）ABC3D212对于函数f（x）=，设f2（x）=ff（x），f3（x）=ff2（x），fn+1（x）=ffn（x）（nN*，且n2），令集合M=x|f2036（x）=x，xR，则集合M为（）A空集B实数集C单元素集D二元素集一、填空题：本大题共4小题
4、，每小题5分，满分20分13抛物线y2=2x的焦点坐标是，准线方程是14某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm315在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=2，C=，tanA=，则sinA=，b=16已知等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，设an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若，nN*，则d=，q=三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2bc）cosA（1）求角A的大小；（2）求cos（B）2sin2的取值范围18（12分）数列
5、an满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），nN*（）证明：数列是等差数列；（）设bn=3n，求数列bn的前n项和Sn19（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学
6、到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在80，90）的学生个数，求的分布列及其数学期望20（12分）设椭圆E的方程为+y2=1（a1），O为坐标原点，直线l与椭圆E交于点A，B，M为线段AB的中点（1）若A，B分别为E的左顶点和上顶点，且OM的斜率为，求E的标准方程；（2）若a=2，且|OM|=1，求AOB面积的最大值21（12分）已知函数f（x）=xe2xlnxax（1）当a=0时，求函数f（x）在，1上的最小值；（2）若x0，不等式f（x）1恒成立，求a的取值范围；（3）若x0，不等式f（）1e+恒成立，求a的取值范围请考生在22，23两题中任选一题作答如果都
7、做，则按第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为sin2=2acos（a0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AB|=2，求a的值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|xa|+5x（1）当a=1时，求不等式f（x）5x+3的解集；（2）若x1时有f（x）0，求a的取值范围2017年广东省清远市华侨中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每
8、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合A=x|x27，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是（）A3B4C5D6【考点】交集及其运算【分析】先求出集合A，从而求出集合AZ，由此能求出集合AZ中元素的个数【解答】解：集合A=x|x27=x|，Z为整数集，集合AZ=2，1，0，1，2，集合AZ中元素的个数是5个故选：C【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用2在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点
9、的坐标，则答案可求【解答】解： =，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3设xR，向量，且，则=（）ABC10D【考点】平面向量的坐标运算【分析】向量的数量积先求出x的值，再求出向量的模即可【解答】解：向量，且，x2=0，解得x=2，=，故选：A【点评】本题考查了向量的垂直和向量的数量积和向量的模，属于基础题4高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为
10、安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（）A2楼B3楼C4楼D8楼【考点】函数的值【分析】同学们总的不满意度y=n+，由此利用基本不等式能求出同学们认为最适宜的教室应在3楼【解答】解：由题意知同学们总的不满意度y=n+2=4，当且仅当n=，即23时，不满意度最小，同学们认为最适宜的教室应在3楼故选：B【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意基本不等式性质的合理运用5函数的值域为（）ABC2，2D1，1【考点】三角函数的化简求值【分析】通过两角差的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正
11、弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域【解答】解：f（x）=sinxcos（x）=sinxcosxsinx=sinxcosx=sin（x）函数f（x）=sinxcos（x）的值域为1，1故选：D【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，考查计算能力，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式是关键，属于基础题6如图所示的程序框图，若f（x）=logx，g（x）=lnx，输入x=2016，则输出的h（x）=（）A2016B2017Clog2016Dln2016【考点】程序框图【分析】根据程序框图求出h（x）的解析式即可【解答】解：x=2016时，f（
12、x）=log2016g（x）=ln2016，故h（x）=f（x），故选：C【点评】本题考查了程序框图，考查对数函数的性质，是一道基础题7在ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=，且bcosC=3ccosB，则的值为（）ABCD【考点】正弦定理【分析】利用余弦定理将角化边整理得出a，b，c的关系，再使用余弦定理消去a，得到关于b，c的方程，即可解出的值【解答】解：ABC中，A=，且bcosC=3ccosB，b=3c，即a2=2b22c2；又cosA=，b2+c2a2+bc=0，3c2b2+bc=0，即（）2+3=0，解得=或（不合题意，舍去），即的值为故选：B【点评】本题考查了三角函
13、数的恒等变换以及余弦定理和一元二次方程的解法问题，属于中档题8函数f（x）的导函数f（x），对xR，都有f（x）f（x）成立，若f（2）=e2，则不等式f（x）ex的解是（）A（2，+）B（0，1）C（1，+）D（0，ln2）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，继而求出答案【解答】解：xR，都有f（x）f（x）成立，f（x）f（x）0，于是有（）0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，不等式f（x）ex，g（x）1，f（2）=e2，g（2）=1，x2，故选：A【点评】本题考查导数的运算及
14、利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A50B50.5C51.5D60【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，AB平面BEFC，ABBC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5几何体的表面
15、积S=34+35+（5+2）4+（5+2）5+35=60故选：D【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键10用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2，利用导数性质求出当x=时，此圆柱体积最大由此能求出圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比【解答】解：设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2，圆柱的体积
16、V（X）=y2x=（x3+4R2x），（0x2R），V（x）=（3x2+4R2），列表如下：x（0，）（，2R）V（x）+0当x=时，此圆柱体积最大圆柱体体积最大时，该圆内接矩形的两条边长分别为和2=，圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为：=故选：C【点评】本题考查圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理应用11设双曲线=1（a0，b0）的右焦点F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=+（，R），=，则该双曲线的离心率为（）ABC3D2【考点】双曲线
17、的简单性质【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得+=1，=，解之可得的值，由=，可得a，c的关系，由离心率的定义可得【解答】解：双曲线的渐近线为：y=x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，），P（c，），因为=+，所以（c，）=（+）c，（），所以+=1，=，解得：=，=，又由=，得：，解得=，所以，e=2故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题12对于函数f（x）=，设f2（x）=ff（x），f3（x）=ff2（x），fn+1（x）=ffn（x）（nN*，且n2），令集合M=x|f2036（x）=x，xR，则集合M为（）A
18、空集B实数集C单元素集D二元素集【考点】集合的表示法【分析】根据条件可分别求出f2（x），f3（x），f4（x），f5（x），f6（x），f7（x），会得出fn（x）是以4为周期，这样即可解出方程f2036（x）=x，便可得到集合M所含元素的情况，从而找出正确选项【解答】解：f（x）=1，f2（x）=1=，f3（x）=，f4（x）=x，f5（x）=f（x）=，fn（x）是以4为周期，f2036（x）=f4（x）=x，集合M=x|f2036（x）=x，xR=R故选：B【点评】本题考查函数的性质及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性的合理运用一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满
19、分20分13抛物线y2=2x的焦点坐标是（，0），准线方程是x=【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的标准方程求解焦点坐标以及准线方程即可【解答】解：抛物线y2=2x的焦点坐标是（，0）；准线方程是：x=故答案为：（，0）；x=【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题14某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是20+4cm2，体积是8cm3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图作出原图形的直观图，结合图形求出它的表面积与体积【解答】解：由三视图作出原图形如图所示，原几何体为底面是边长为2cm、4cm的直角三角形，高为2cm的直三棱柱；其表面积为S=224
20、+42+22+2=20+4cm2；体积为V=422=8cm3故答案为：，8【点评】本题考查了三视图与体积、表面积的计算问题，是基础题目15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=2，C=，tanA=，则sinA=，b=4+【考点】正弦定理【分析】由范围A（0，），利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用正弦定理可求c的值，进而利用余弦定理可求b的值【解答】解：tanA=，可得：cos2A=，又A（0，），sinA=，a=2，C=，c=5，由余弦定理c2=a2+b22abcosC，可得：52=（2）2+b22，整理可得：b22b13=0，解得：b=4+，或4（舍去），故答案
21、为：，4+【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16已知等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，设an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若，nN*，则d=2，q=2【考点】等比数列的通项公式【分析】在已知等式中分别取n=1、2、3、4，得到关于a1，b1，d，q的方程组，求解得答案【解答】解：由，得b1+1=2a1，b1+b1q+1=2a1+d，联立以上各式解得：d=q=2故答案为：2，2【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式，考查计算求解能力，是中档题三、解答题（解答应写出文字说明、
22、证明过程或演算步骤.）17（12分）（2017淮南一模）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2bc）cosA（1）求角A的大小；（2）求cos（B）2sin2的取值范围【考点】正弦定理【分析】（）由正弦定理化简等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB0，可求，结合A为内角即可求得A的值（）由三角函数恒等变换化简已知可得sin（B）1，由可求B的范围，从而可求，即可得解【解答】解：（）由正弦定理可得，从而可得，即sinB=2sinBcosA，又B为三角形的内角，所以sinB0，于是，又A亦为三角形内角，因此，（6分）（），=，=，由可知，所以，从而，因此，
23、故的取值范围为（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题18（12分）（2014安徽）数列an满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），nN*（）证明：数列是等差数列；（）设bn=3n，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比关系的确定【分析】（）将nan+1=（n+1）an+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得，由等差数列的定义得证（）由（）求出bn=3n=n3n，利用错位相减求出数列bn的前n项和Sn【解答】证明（）nan+1=（n+1）an+n（n+1），数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；（）由（
24、）知，bn=3n=n3n，3n1+n3n3n+n3n+1得3nn3n+1=【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法求和的关键是求出通项选方法19（12分）（2017淮南一模）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（）在选
25、取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在80，90）的学生个数，求的分布列及其数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图【分析】（）根据茎叶图可得50，60），总共有8人，结合频率分布直方图，可求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（）由题意可知，分数在80，90）有5人，分数在90，100）有2人，共7人抽取的3名同学中得分在80，90）的学生个数的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求的分布列及其数学期望【解答】解：（）由题意可知，样本容量，x=0.10.0040.
26、0100.0160.04=0.030（3分）（）由题意可知，分数在80，90）有5人，分数在90，100）有2人，共7人抽取的3名同学中得分在80，90）的学生个数的可能取值为1，2，3，则，所以，的分布列为123P所以，（12分）【点评】本题考查茎叶图、频率分布直方图，考查随机了的分布列及其数学期望，考查学生的识图能力，考查学生的计算能力，属于中档题20（12分）（2017淮南一模）设椭圆E的方程为+y2=1（a1），O为坐标原点，直线l与椭圆E交于点A，B，M为线段AB的中点（1）若A，B分别为E的左顶点和上顶点，且OM的斜率为，求E的标准方程；（2）若a=2，且|OM|=1，求AOB面积
27、的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）将A和B代入椭圆方程，做差求得，由斜率公式可知kAB=，即可求得a的值，求得E的标准方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式，即可求得M点坐标，由|OM|=1，可得n2=，由三角形面积公式可知：，t=m2+4（t4），代入由基本不等式的性质即可求得AOB面积的最大值【解答】解：（1）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，得，（2分）即，又，代入化简，解得a=2，故E的标准方程为；（2）设直线l：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），整理得：（4+m2）y2+3mny+n24=0
28、y1+y2=，y1y2=，x1+x2=，由中点坐标公式可知：M（，），即M（，）|OM|=1，n2=，（8分）设直线l与x轴的交点为D（n，0），则，令，（10分）设t=m2+4（t4），则，当t=12时，即时，AOB的面积取得最大值1（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，基本不等式性质及三角形面积公式，考查点差法求直线斜率的方法，考查计算能力，属于中档题21（12分）（2017淮南一模）已知函数f（x）=xe2xlnxax（1）当a=0时，求函数f（x）在，1上的最小值；（2）若x0，不等式f（x）1恒成立，求a的取值范围；（3）若x0，不等式f（）
29、1e+恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）a=0时，由此利用导数性质能求出函数f（x）在，1上的最小值（2），函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+）上递增，由x0，不等式f（x）1恒成立，得lnx0+2x020，由此能求出a的取值范围（3）由f（）1，得a对任意x0成立，令函数g（x）=xlnxx，则，由此利用导数性质能求出a的取值范围【解答】解：（1）a=0时，f（x）=xe2xlnx，函数f（x）在（0，+）上是增函数，又函数f（x）的值域为R，故x00，使得f（x0）=（2x0+1）e=0，又，当x时，f（x）0
30、，即函数f（x）在区间，1上递增，（2），由（1）知函数f（x）在（0，+）上是增函数，且x00，使得f（x0）=0，进而函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+）上递增，lnx0ax0，由f（x0）=0，得：（2x0+1）ea=0，f（x0）=1lnx02x02，x0，不等式f（x）1恒成立，1lnx02x02e1，lnx0+2x020，设h（x0）=lnx0+2xe，则h（x0）为增函数，且有唯一零点，设为t，则h（t）=lnt+2t2e2t=0，则lnt=2t2e2t，即，令g（x）=xex，则g（x）单调递增，且g（2t）=g（），则2t=ln，即，a=（2x0+1）在（0，
31、t为增函数，则当x0=t时，a有最大值， =，a2，a的取值范围是（，2（3）由f（）1，得，xlnxxa，a对任意x0成立，令函数g（x）=xlnxx，当x1时，g（x）0，当0x1时，g（x）0，当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=1=1，a1a的取值范围是（，1）【点评】本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，注意导数性质的合理运用请考生在22，23两题中任选一题作答如果都做，则按第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）（2017淮南一模）在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为sin2=2a
32、cos（a0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AB|=2，求a的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用三种方程的互化方法，可得结论；（2）直线与曲线联立，利用弦长公式，建立方程，即可求a的值【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为sin2=2acos（a0）可得2sin2=2acos可得：曲线C的普通方程为：y2=2ax；直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为xy2=0；（2）直线与曲线联立可得y22ay4a=0，|AB|=2，=2，解得a=5或1【点评】本题考查三种方
33、程的互化，考查弦长公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲23（2017淮南一模）设函数f（x）=|xa|+5x（1）当a=1时，求不等式f（x）5x+3的解集；（2）若x1时有f（x）0，求a的取值范围【考点】其他不等式的解法【分析】（1）当a=1时，|x+1|+5x5x+3，从而解得；（2）当x0时，f（x）=|xa|+5x0恒成立，从而转化为故只需使当1x0时，f（x）=|xa|+5x0，从而化简可得（4x+a）（6xa）0，从而分类讨论解得【解答】解：（1）当a=1时，|x+1|+5x5x+3，故|x+1|3，故4x2，故不等式f（x）5x+3的解集为4，2；（2）当x0时，f（x）=|xa|+5x0恒成立，故只需使当1x0时，f（x）=|xa|+5x0，即|xa|5x，即（xa）225x2，即（xa5x）（xa+5x）0，即（4x+a）（6xa）0，当a=0时，解4x6x0得x=0，不成立；当a0时，解（4x+a）（6xa）0得，x，故只需使1，解得，a4；当a0时，解（4x+a）（6xa）0得，x，故只需使1，解得，a6；综上所述，a的取值范围为a4或a6【点评】本题考查了绝对值不等式的解法及分类讨论的思想应用
