1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程学习目标：1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化(易错易混点)3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示(难点)教材整理1曲线的极坐标方程1曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程(，)0建立了如下的关系：(1)曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(，)满足方程(，)0；(2)极坐标满足方程(，)0的点都在曲线C上那么方程(，)0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程
2、(，)0的曲线2常见简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为C(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为C，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点A(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点A，与极轴平行的直线sin_a(0)过点A(a,0)，且与极轴成角的直线的极坐标方程sin() asin_(0)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)过极点且垂直于极轴的直线方程为x.()(2)直线cos 2与直线sin 2互相平行()(3)cos 表示一个圆()解析(1)过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为，故正确(2)co
3、s 2表示直线x2，sin 2表示直线y2，这两直线互相垂直(3)cos 可化为x2y2x，故正确答案(1)(2)(3)教材整理2曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位利用把曲线的两种方程进行相互转化填空：(1)曲线1的直角坐标方程为_(2)方程y2x的极坐标方程为_(3)圆2cos 的直角坐标方程为_解析(1)1，即21，x2y21.(2)把ysin ，xcos 代入y2x，得sin 2cos ，即tan 2.(3)2cos 即22cos ，所以x2y22x，即(x1)2y21.答案(1)x2y21
4、(2)tan 2(3)(x1)2y21教材整理3圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系如图，设定点F到直线l的距离|FK|p，M(，)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为.当0e1时，方程表示椭圆当e1时，方程表示开口向右的抛物线当e1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点求简单图形的极坐标方程【例1】(1)求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程；(2)求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点是否在这个圆上精彩点拨解答本题先根据题意画出草图，设点M(，)后建立关于与的方程化简
5、即可尝试解答(1)如图，设M(，)(0)为直线上除点A以外的任意一点，则xAM，OAM，OMA.在OAM中，由正弦定理得，即，所以sin，即，化简，得(cos sin )1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1.(2)由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|2r，连结AM，则OMMA.在RtOAM中，|OM|OA|cos AOM，即2rcos ，4sin .经验证，点O(0,0)，A的坐标满足上式所以满足条件的圆的极坐标方程为4sin .sin ，4sin 4sin 2，点在此圆上求
6、曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系；(2)在曲线上任取一点M(，)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；(4)用极坐标，表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程通常第(5)步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可1(1)求过A且平行于极轴的直线方程(2)在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹解(1)如图所示，在直线l上任意取点M(，)A，|MH|2sin ，在RtOMH中，|MH|OM|sin ，即sin ，所以过A且平行于极轴的直线方程
7、为sin ，其中0.(2)设M(，)是轨迹上任意一点连结OM并延长交圆A于点P(0，0)，则有0，02.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为8cos ，得08cos 0，所以28cos ，即4cos .故所求轨迹方程是4cos .它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.化曲线的直角坐标方程为极坐标方程【例2】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程(1)射线yx(x0)；(2)圆x2y22ax0(a0)精彩点拨尝试解答(1)将xcos ，ysin ，代入yx，得sin cos ，tan ，或.又x0，cos 0，射线yx(x0)的极坐标方程为(0)(2)将xcos ，ysin 代入x2
8、y22ax0，得2cos22sin22acos 0，即(2acos )0，2acos ，圆x2y22ax0(a0)的极坐标方程为2acos ，圆心为(a,0)，半径为r|a|.1化曲线的直角坐标方程f(x，y)0为极坐标方程f(，)0，只要将xcos ，ysin 代入到方程f(x，y)0中即可化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为0.例如x2y225化为极坐标方程时，有5或5两种情况，由于0，所以只取5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆2由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简2曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极
9、坐标方程为_解析直角坐标方程x2y22x0可化为x2y22x，将2x2y2，xcos 代入整理得2cos .答案2cos 化曲线的极坐标方程为直角坐标方程【例3】化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状(1)cos 2；(2)2cos ；(3)2cos 22；(4).精彩点拨尝试解答根据点的极坐标化为直角坐标的公式：2x2y2，cos x，sin y.(1)cos 2，x2，是过点(2,0)，垂直于x轴的直线(2)2cos ，22cos ，x2y22x0，即 (x1)2y21.故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆(3)2cos 22，2(cos2sin2)2，即2cos22si
10、n22，x2y22.故曲线是中心在原点，焦点在x轴上的等轴双曲线(4)，1cos ，1x，两边平方并整理，得y22.故曲线是顶点为，焦点为F(0,0)，准线方程为x1的抛物线1将2x2y2，cos x，sin y代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程2解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如cos ，sin ，2的式子，进行整体代换方程的两边同乘以(或同除以)或方程两边平方是常用的变形方法3在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_解析极坐标系中点对应的直角坐标为(，1)极坐标系中直线sin 2对应直角坐标系中直线y2.故所求距离为1.答案1曲线的极坐标方程的建立探究问题1在极坐标
11、系中，求圆的极坐标方程的一般思路是什么？求直线的极坐标方程呢？提示在圆上设M(，)为任意一点，连结OM，构造出含OM的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM，即把OM用表示，从而得到圆的极坐标方程求直线的极坐标方程时，首先在直线上设任意一点M(，)，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程2在极坐标系内，如何确定某一个点P是否在某曲线C上？提示在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可3我们由曲线的直角坐
12、标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？提示如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线【例4】在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|OP|12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上任意一点，试求RP的最小值精彩点拨解答本题可以设出动点P，M的极坐标，然后代入条件等式求解即可，也可以转化为直角坐标方程解决尝试解答法一：(1)设动点P的极坐标为(，)，点M为(0，)|OM|OP|12，012，得0.M在直线cos 4上，
13、0cos 4，即cos 4，于是3cos (0)为所求的点P的轨迹方程(2)由于点P的轨迹方程为3cos 2cos ，所以点P的轨迹是圆心为，半径为的圆(去掉极点)又直线l：cos 4过点(4,0)且垂直于极轴，点R在直线l上，由此可知RP的最小值为1.法二：(1)直线l：cos 4的直角坐标方程为x4，设点P(x，y)为轨迹上任意一点，点M(4，y0)，由OO得y0(x0)又|OM|OP|12，则|OM|2|OP|2144，(x2y2)144，整理得x2y23x(x0)，这就是点P的轨迹的直角坐标方程(2)由上述可知，点P的轨迹是圆心为，半径为的圆(去掉原点)又点R在直线l：x4上，由此可知
14、RP的最小值为1.建立适当的极坐标系，有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式可是，由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性，且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异，这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便，为此，往往把极坐标方程化为直角坐标方程，再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解4过极点O作圆C：8cos 的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程解法一：如图，圆心C(4,0)，半径r|OC|4，连结CM.M为弦ON的中点，CMON，故M在以OC为直径的圆上所以，动点M的轨迹方程是4cos .法二：设M点的坐标是(，)，N(1，1)N点在圆8cos
15、 上，18cos 1.M是ON的中点，代入式得28cos ，故M的轨迹方程是4cos .1极坐标方程cos表示的曲线是()A双曲线B椭圆C抛物线 D圆解析方程可化为2cos sin ，即x2y2xy0，所以曲线表示圆答案D2过点A(2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是()Acos 2 Bsin 2Ccos 1 Dsin 1解析如图所示，设M(，)为直线上除点A(2,0)外的任意一点，连结OM，则有AOM为直角三角形，并且AOM，|OA|2，|OM|，所以有|OM|cos |OA|，即cos 2，显然当2，0时，也满足方程cos 2，所以所求直线的极坐标方程为cos 2.答案A3在极坐标系中，极点到直线cos 2的距离是_解析cos 2，即x2.所以极点到直线的距离为2.答案24两直线sin2 016，sin2 015的位置关系是_(判断垂直或平行或斜交)解析两直线方程可化为xy2 016，yx2 015，故两直线垂直答案垂直5求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程解设P(，)为圆C上任意一点(不与O，A点重合)，圆C交极轴于另一点A，则|OA|8.在RtAOP中，|OP|OA|cos ，即8cos ，经验证点O，点A也满足该等式，所以8cos .这就是圆C的极坐标方程- 14 - 版权所有高考资源网
