1、高考资源网（） 您身边的高考专家4二项分布学 习 目 标核 心 素 养1.掌握独立重复试验的概念及意义，理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式(重点)2理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题(难点)3了解二项分布与超几何分布的关系(易混点)通过对二项分布的学习，培养“逻辑推理”“数学抽象”“数学运算”的数学素养.1n次独立重复试验进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1p；(3)各次试验是相互独立的，则这n次试验称为n次独立重复试验2二项分布(1)
2、若用随机变量X表示n次独立重复试验的次数，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)(2)若一个随机变量X的分布列如(1)所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为XB(n，p)思考：二项分布与两点分布有什么关系？提示(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X1)或不发生(X0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，n次(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n1的二项分布1任意抛掷三枚均匀硬币
3、，恰有2枚正面朝上的概率为()A B C DB抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为PC.2独立重复试验满足的条件是_(填序号)每次试验之间是相互独立的；每次试验只有发生和不发生两种情况；每次试验中发生的机会是均等的；每次试验发生的事件是互斥的由n次独立重复试验的定义知正确3已知随机变量X服从二项分布，XB，则P(X2)等于_P(X2)C.4一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为_抛掷一枚硬币出现正面的概率为，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为PC.独立重复试验中概率的求法【例1】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击
4、中目标的概率为，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率；(2)乙至少击中目标2次的概率；(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率解(1)甲恰好击中目标2次的概率为C.(2)乙至少击中目标2次的概率为CC.(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则AB1B2，B1，B2为互斥事件P(A)P(B1)P(B2)CCCC.独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验.(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆.(2)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公
5、式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.1某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率；解(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为PC0.820.230.051 20.05，因此“5次预报中恰有2次准确”的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为PC(0.2)5C0.80.240.006 720.01.所以所求概率为1P10.010.99.所以5次预报中至少有
6、2次准确的概率约为0.99.二项分布【例2】从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数求(1)随机变量X的分布列；(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率思路探究：求随机变量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个值的概率解(1)由题意XB，则P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.X的分布列为Xk0123P(Xk)(2)由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”因此有P(X1)1P(X0)1.解决这类问题的一般步骤(1)判断所述问题是否
7、是相互独立试验；(2)建立二项分布模型；(3)求出相应概率；(4)写出分布列.2某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X的分布列解由题意，得到的次品数XB(2,0.05)，P(X0)C0.9520.902 5；P(X1)C0.050.950.095；P(X2)C0.0520.002 5.因此，次品数X的分布列如下：Xk012P(Xk)0.902 50.0950.002 5独立重复试验与二项分布的综合探究问题1王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？提示做一道题就是
8、做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n1的二项分布2王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？提示服从二项分布因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布3王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？提示不服从二项分布因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的
9、概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布【例3】甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分(1)求随机变量的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)思路探究：(1)由于甲队中每人答对的概率相同，
10、且正确与否没有影响，所以服从二项分布，其中n3，p；(2)AB表示事件A、B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分解(1)由题意知，的可能取值为0,1,2,3，且p(0)C，P(1)C，P(2)C，P(3)C.所以的分布列为0123P(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以ABCD，且C，D互斥，又P(C)C，P(D)C，由互斥事件的概率公式得P(AB)P(C)P(D).对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是AB还是AB
11、，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.3甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率解(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验故P(A1)1P(1)1，所以甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率为.(2)记“甲射击4次
12、，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则P(A2)C；P(B2)C.由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)P(A2)P(B2).所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.1P(Xk)Cpk(1p)nk.这里n为试验次数，p为每次试验中成功的概率，k为n次试验中成功的次数2判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是各次试验相互独立. 1.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有2次击中目标的概率为()AB C D
13、B恰有两次击中目标的概率是C0.62(10.6).2袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是()A B C DB每种颜色的球被抽取的概率为，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率为C3.3一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为_4由1C 0.9，得 0.1，所以n4.故n的最小值为4.4某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为_. 每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A片区房源记为A，则P(A)，所以恰有2人申请A片区的概率为C.5某中学学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列解由题意知，用X表示成功的人数，则X服从n3，p的二项分布，于是有P(Xk)C，k0,1,2,3.所以X的分布列为X0123P- 10 - 版权所有高考资源网
