1、专题综合检测（四）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“ab0”是“ab”的（A）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：由ab0ab，而aba，bR且ab，但不能推出ab0.2.下列函数中，y的最小值为4的是（C）A.yx B.ysin x（0x）C.yex D.ylog2x解析：A成立需x0；B取不到等号；D成立需x1.3.（2015天津卷）设xR，则“1x2”是“|x2|1”的（A）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件
2、 D.既不充分也不必要条件解析：11x3.由于是的真子集，所以“1x2”是“0的解集是x| x，则m，n分别是（D）A.6，1 B.6，1 C.6，1 D.6，16.下列函数中，最小值是2的是（A）A.y 2x2xB.yC.ysin x ，xD.y7.（2015陕西卷）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（D）甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元解析：设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天
3、所获利润为z万元，则有z3x4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z3x4y经过点A（2，3）时，z取最大值，最大值为324318.8.（2015陕西卷）设f（x）ln x，0ab，若pf（），qf，r（f（a）f（b），则下列关系式中正确的是（C）A.qrpC.prq9.已知向量a（x，2），b（1，y），其中x0，y0.若ab4，则的最小值为（C）A. B.2 C. D.210.已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a（B）A. B. C.1 D.2解析：本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值点进行解答.作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）.易知直
4、线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.故选B.11.（2014青岛二中月考）已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是（C）A.2 B.2 C.4 D.2解析：因为lg 2xlg 8ylg 2，所以x3y1.所以（x3y）24，当且仅当，即x，y时，取等号.12.（2014辽宁六校联考）设变量x，y满足约束条件且不等式x2y14恒成立，则实数a的取值范围是（A）A.8，10 B.8，9 C.6，9 D.6，10解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a8，否则可行域无意义.由图可知x2y在点（6，a6）处取得最大值2a6，由2a614，得a
5、10.故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）13. （2015江苏卷）不等式2x2x4的解集为.解析： 2x2x4， 2x2x22， x2x2，即x2x20， 1x2.答案：x|1x2（或（1，2）14.（2015新课标卷）若x，y满足约束条件则z2xy的最大值为.解析： z2xy， y2xz，将直线y2x向上平移，经过点B时z取得最大值.由解得 zmax2328.答案：815.已知关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是.答案：（0，8）16.若不等式x2（2a1）xa2a0的解集为A，不等式x25x40的解集为B，且AB
6、，则实数a的取值范围是.答案：（，04，）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知函数y（k24k5）x24（1k）x3的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围.解析：由k24k50，得k5或k1，当k1时，y3，满足题意；当k5时，y24x3，不合题意.当k24k50，即k5且k1时，函数的图象都在x轴上方，则 解得1k19.综上所述，k的取值范围是（1，19）.18. （12分） 已知直线过点P（3，2）且与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点.（1）求AOB面积的最小值及此时直线l方程（O为原点）；（2）求直线l在两坐标
7、轴上截距之和的最小值.解析：（1）设直线l的方程1（a0，b0）.则12，2，ab24.Sab12.仅当，即a6，b4，Smin12.此时l：1，即2x3y120.（2）1，ab（ab）552.仅当时，即a3 ，b2时，（ab）min52.19.（12分）设f（x）3ax22bxc，若abc0，f（0）0，f（1）0，求证：（1）a0且21；（2）方程f（x）0在（0，1）内有两个实根.解析：（1）f（0）0，f（1）0，又abc0，bac，代入不等式组得ac0.要证21，a0，只需证2aba，即需证又abc0，2aba（ab）ac0.原不等式成立，即21.（2）证法一fbca0，又因为f（0
8、）0，f（1）0，所以ff（0）0，ff（1）0，且f（x）为连续函数，所以方程f（x）0在区间与内分别有一个实根，故方程f（x）0在（0，1）内有两个实根.证法二21，对称轴x，又bac.4b212ac4（ac）212ac4（a2c2ac）0.由得方程f（x）0在（0，1）内有两个实根.20. （12分）某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500 元/分和200 元/分.假定甲、乙两个电视台为该公司做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间
9、，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？分析：先列出约束条件，建立目标函数；然后求解.解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，收益为z元.由题意得目标函数z3 000x2 000y.二元一次不等式组等价于作二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如下图.作直线l：3 000x2 000y0，即3x2y0.平移直线l，从图中可知，当直线过点M时，目标函数取得最大值.联立解得x100，y200.点M的坐标为（100，200）.zmax700 000 元，即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元.21.
10、 （12分）某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x万件与年促销费用m万元（m0）满足x3（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2015年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）. （1）将2015年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2015年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解析：（1）由题意可知当m0时，x1 万件，13kk2，x3.每件产品的销售价格为1.5 元，2015年的利润yx（816xm）48xm48m29（m0）.（2）当m0时，（m1）28，y82921，当且仅当m1m3 万元时，ymax21 万元.促销费用投入3 万元时，厂家的利润最大.22.（12分）已知函数f（x）（a，b为常数）且方程f（x）x120有两个实根为x13，x24.（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k1，解关于x的不等式：f（x）.解析：（1）将x13，x24分别代入方程x120得解得所以f（x）（x2）.（2）不等式即为，可化为0，即（x2）（x1）（xk）0.当1k2时，解集为；当k2时，不等式化为（x2）2（x1）0，解集为；当k2时，解集为.
