1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.2类比推理学 习 目 标核 心 素 养1.通过具体实例理解类比推理的意义(重点)2会用类比推理对具体问题作出判断(难点)1.通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养2通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理类比推理是两类事物特征之间的推理2合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式合情推理的结果
2、不一定正确思考：合情推理的结果为什么不一定正确？提示合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确1下面使用类比推理恰当的是()A“若a3b3，则ab”类比推出“若a0b0，则ab”B“(ab)cacbc”类比推出“(ab)cacbc”C“(ab)cacbc”类比推出“(c0)”D“(ab)nanbn”类比推出“(ab)nanbn”C由实数运算的知识易得C项正确2下列推理是合情推理的是()(1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；(3)
3、ab，bc，则ac；(4)三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸n边形内角和是(n2)180.A(1)(2)B(1)(3)(4)C(1)(2)(4) D(2)(4)C(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是_(填序号)各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两
4、面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故都对类比推理在数列中的应用【例1】在公比为4的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有，也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列an中，若Sn是an的前n项和试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明思路点拨：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质解数列S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的证明如下：等差数列an的公差d3，(S30S20)(S20S10)(a21a22a30)(a11a12a20)100d300，
5、同理可得：(S40S30)(S30S20)300，所以数列S20S10，S30S20，S40S30是等差数列，且公差为300.1本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn(Tn0)，则T4，_，_，成等比数列等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，成等比数列2在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)解对于任意kN，都有数列S2kSk，S3kS2k，S4k
6、S3k是等差数列，且公差为k2d.1在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点2类比推理的思维过程观察、比较联想、类推猜测新的结论即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处1在等差数列an中，如果m，n，p，rN，且mnp3r，那么必有amanap3ar，类比该结论，写出在等比数列bn中类似的结论，并用数列知识加以证明解类似结论如下：在等比数列bn中，如果m，n，p，rN，且mnp3r，那么必有bmbnbpb.证明如下：设等比数列bn的公比为q，则bmb1qm1，bnb1qn1，bpb1qp1，
7、brb1qr1，于是bmbnbpb1qm1b1qn1b1qp1bqmnp3bq3r3(b1qr1)3b，故结论成立类比推理在几何中的应用【例2】如图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是ABC三条边上的高，P为ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论1.证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明思路点拨：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高解，同理，.SPBCSPACSPABSABC，1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的
8、距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论1.证明：，同理，.VPBCDVPACDVPABDVPABCVABCD，1.1在本例中，若ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由abcos Cccos B可类比四面体的什么性质？解在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小猜想SS1cos S2cos S3cos .2在本例中，若r为三角形的内切圆半径，则S(abc)r，请类比出四面体的有关相似性质解四面体的体积为V(
9、S1S2S3S4)r(r为四面体内切球的半径，S1，S2，S3，S4为四面体的四个面的面积1平面图形与空间图形类比平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论类比推理在其他问题中的应用探究问题1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的你认为该过程为归纳推理还是类比推理？提示类比推理2已知以下过程可以求123n的和因为(n1)2n22n1，n2(n1
10、)22(n1)1，2212211，有(n1)212(12n)n，所以123n.类比以上过程试求122232n2的和提示因为(n1)3n33n23n1，n3(n1)33(n1)23(n1)1，2313312311，有(n1)313(1222n2)3(123n)n，所以1222n2.【例3】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线1(a0，b0)具有类似特征的性质，并加以证明思路点拨：解类似性质：若M，N为双曲线1(a0，b0)上关于原点对称的两个点，点
11、P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(m，n)因为点M(m，n)是双曲线上的点，所以n2m2b2.同理y2x2b2，则kPMkPN(定值)1两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征2进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想2我们知道：121，22(11)212211，32(21)222221，42(31)232231，n2(n1)22(n1)1，将以上各
12、式的左右两边分别相加，整理得n22123(n1)n，所以123(n1).类比上述推理方法写出求122232n2的表达式的过程解已知：131，23(11)313312311，33(21)323322321，43(31)333332331，n3(n1)33(n1)23(n1)1，将以上各式的左右两边分别相加，得(1323n3)1323(n1)331222(n1)2312(n1)n，整理得n33(1222n2)3n2312(n1)n，将123(n1)代入整理可得1222n2，即1222n2.1类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测
13、性，不一定可靠(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证2类比推理与归纳推理的比较归纳推理类比类推相同点根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不同点特点由部分到整体，由个别到一般由特殊到特殊推理过程从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1下列说法正确的是()A由合情推理得出的结论一定是正确的B合情推理必须有前提有结论C合情推理不能猜想D合情推理得出的结论不能判断正误B根据合情推理可知，
14、合情推理必须有前提有结论2已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S，可知扇形面积公式为()A.B.C. D无法确定C扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S.3在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_18由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积之比为18.4在计算“1223n(n1)”时，有如下方法：先改写第k项：k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得12(123012)，23(234123)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)，相加得1223n(n1)n(n1)(n2)类比上述方法，请你计算“1324n(n2)”，将其结果写成关于n的一次因式的积的形式解13(129017)，24(2311129)，35(34132311)，n(n2)n(n1)(2n7)(n1)n(2n5)，各式相加，得132435n(n2)n(n1)(2n7)- 11 - 版权所有高考资源网
