1、第2课时奇偶性的应用教材要点要点函数的奇偶性与单调性(1)若f(x)为奇函数且在区间a，b(ab)上为增函数，则f(x)在b，a上为_，即在对称区间上单调性_(2)若f(x)为偶函数且在区间a，b(ab)上为增函数，则f(x)在b，a上为_，即在对称区间上单调性_基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若f(x)是偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)()(2)一个奇函数与一个偶函数的积函数是偶函数()(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性()(4)若奇函数f(x)在a，b上有最大值M，则f(x)在b，a上有最小值M
2、.()2已知函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x21x，则f(1)等于()A2B0C1D23定义在R上的偶函数f(x)在(0，)上是增函数，则()Af(3)f(4)f()Bf()f(4)f(3)Cf(3)f()f(4)Df(4)f()f(3)4已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)xx2，则当x0时，f(x)_题型1利用奇偶性求函数的解析式例1(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，f(x)x(x1)，则当x0时，f(x)_(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x22x，求函数f(x)，g(x)的解析式方法归纳利用奇偶性求函数解析式的
3、方法已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：先设出未知解析式的定义区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可具体如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上；(2)将x代入已知区间上的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性把f(x)写成f(x)或f(x)，从而解出对应区间上的f(x)跟踪训练1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(x1)，求函数f(x)的解析式题型2奇偶性与单调性的简单应用角度1比较大小例2若对于任意实数x总有f(x)f(x)，
4、且f(x)在区间(，1上是增函数，则()Af-32f(1)f(2)Bf(2)f-32f(1)Cf(2)f(1)f-32Df(1)f-32f(2)角度2解不等式问题例3定义在2，2上的偶函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围方法归纳利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响跟踪训练2(1)若函数yfx为偶
5、函数，且在0，+上是减函数，又f30，则不等式fx+f-x2x0的解集为()A-3，3B. -，-33，+C-，-30，3 D. -3，03，+(2)已知偶函数f(x)，且当x0，)时，都有(x1x2)f(x2)f(x1)0成立，令af(5)，bf12，cf(2)，则a，b，c的大小关系是_(用“”连接)题型3奇偶性与单调性的综合应用例4已知函数f(x)ax+b1+x2是定义在(1，1)上的奇函数，且f1225.(1)确定函数f(x)的解析式(2)用定义证明f(x)在(1，1)上是增函数(3)解不等式：f(t1)f(t)0.方法归纳利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在
6、综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值解题时，一定要特别注意函数的定义域跟踪训练3已知函数f(x)x22ax1.(1)若f(1)2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值(3)若f(x)在(，4上单调递减，求实数a的取值范围易错辨析未综合考虑奇(偶)函数的对称性致误例5设f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，f(2)0，则fxx0的解集为()Ax|x2或x2Bx|x2或0x2Cx|2x0或x2Dx|2x0或0x2解析：f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，函数f(x)在(0，)上也为减函数f(2)0，f(
7、2)f(2)0，故函数f(x)的大致图象如图所示则由fxx0，可得xf(x)0，即x和f(x)异号，由图象可得x2或x2.故fxx0的解集为x|x2或x2故选A.易错警示易错原因纠错心得只考虑f(x)在(0，)上单调递减的性质，而忽视f(x)在(，0)上也单调递减造成错解为避免此类问题出现错误，可根据函数的奇偶性、单调性作出函数的大致图象，根据图象解不等式课堂十分钟1已知fx是偶函数，当x0时，fxx(x1)，则当x0时，fx()Ax(x1) Bx(x1)Cx(x1) Dx(x1)2已知定义在R上的偶函数fx在0，+上是减函数，则()Af3f-5f-4 Bf-4f-5f3Cf3f-4f-5 D
8、f-5f-4f33设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式fx-f-xx0的解集为()A(1，0)1，+ B. -，-10，1C(，1)1，+ D. -1，00，14已知f(x)是定义在2b，1b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则f(x1)f(2x)的解集为_5已知函数yf(x)的图象关于原点对称，且当x0时，f(x)x22x3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间抽象函数没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数题型1抽象函数的定义域(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围(2)函数f(x)的定义域是指x的取值范围，而不是(x
9、)的取值范围(3)f(t)，f(x)，f(h(x)三个函数中的t，(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同例1已知函数f(x)的定义域为0，1，求函数g(x)f(xm)f(x m)(m0)的定义域思路分析：由f(x)的定义域为0，1可知对应关系f作用的范围为0，1，而f(xm)f(x m)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使xm，x m都在0，1这个区间内，从而使f(xm)f(x m)有意义解析：由题意得0x+m1，0x -m1-mx1 -m，mx1+m.mm，1m1m，而m与1 m的大小不确定，对m与1m的大小讨论若m1m，即m12，则xm12；若m1m，即m12，则mx1m；若m1m
10、，即m12，则x，与题意不符，故m不可能大于12.综上所述，当0m12时，函数g(x)的定义域为x|mx1m题型2抽象函数的奇偶性对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式，要充分利用给定的函数方程关系式，对变量进行赋值，使其变为含有f(x)，f(x)的式子再利用奇偶性的定义加以判断其解题策略为(1)要善于对所给的关系式进行赋值(2)变形要有目的性，要以“f(x)与f(x)的关系”为目标进行化简和变形例2函数f(x)，xR，若对任意实数a，b，都有f(ab)f(a)f(b)，求证：f(x)为奇函数证明：令a0，则f(b)f(0)f(b)，f(0)0.又令ax，bx，代入f(ab)f(a)f(
11、b)，得f(xx)f(x)f(x)即f(x)f(x)0，f(x)f(x)f(x)为奇函数题型3抽象函数的单调性判断抽象函数的单调性，通常利用单调性的定义，但要注意充分运用所给条件，判断出函数值之间的关系常见思路：先在所证区间上任取两数x1，x2(x1x2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题例3已知函数f(x)的定义域是x|x0，xR，对定义域内任意的x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求证f(x)是偶函数；(2)求证f(x)在(0，)上是增函数；(3)试比较f-52与f74的大小思路分析：(1)利用赋值法证明f(x)
12、 f(x)；(2)利用定义法证明单调性；(3)利用函数的单调性比较大小解析：(1)证明：由题意可知函数f(x)的定义域关于原点对称对定义域内任意的x1，x2，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.令x1x21，得f(1)(1)f(1)f(1)，即f(1)2f(1)，即2f(1)0，f(1)0.f(x)f(1)xf(1)f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)fx1x2x1f(x1)f(x1)fx2x1f(x1)fx2x1，x2x10，x2x11，fx2x10，即f(x2)f(x1)
13、0，f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是增函数(3)由(1)知f(x)是偶函数，则有f-52f52.由(2)知f(x)在(0，)上是增函数，且5274，则f52f74，f-52f74.第2课时奇偶性的应用新知初探课前预习要点(1)增函数相同(2)减函数相反基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2答案：A3答案：C4答案：xx2题型探究课堂解透例1解析：(1)当x0时，x0时，f(x)f(x)x(x1)(2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，由f(x)g(x)2xx2.用x代替x得f(x)g(x)2x(x)2，所以f(x)g(x)2xx2，
14、()2，得f(x)x2.()2，得g(x)2x.答案：(1)x(x1)(2)见解析跟踪训练1解析：当x0，则f(x)(x)(x1)x(x1)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，f(x)x(x1)，又f(0)0.综上，函数f(x)的解析式为f(x)xx-1，x0，0，x=0，-xx+1，x0.例2解析：对任意实数x总有f(x)f(x)，f(x)为偶函数，f(2)f(2)又f(x)在区间(，1上是增函数，2321，f(2)f-32m，解得1m12.实数m的取值范围是-1，12.跟踪训练2解析：(1)f(x)为偶函数，f(x)f(x)，fx+f-x2x0可转化为fxx3时，f(
15、x)0；当3x0.故fxx0的解集为(3，0)3，+故选D.(2)当x0，)时都有(x1x2)f(x2)f(x1)0成立，f(x)在x0，)上单调递增又f(x)为偶函数，画出符合题意的图象(不唯一)，如图由图可知，当自变量距离y轴距离越近，则函数值越小，即12|2|5|，则f12f(2)cb.答案：(1)D(2)acb例4解析：(1)由题意得所以a=1，b=0，故f(x)x1+x2.(2)任取1x1x21.则f(x1)f(x2)x11+x12 x21x22 x1-x21-x1x21+x12 1x22 .因为1x1x21，所以x1-x20，1x220.又1x1x20.所以f(x1)f(x2)0，
16、所以f(x)在(1，1)上是增函数(3)f(t1)f(t)f(t)因为f(x)在(1，1)上是增函数，所以1t1t1，解得0t12.所以不等式的解集为t0t12.跟踪训练3解析：(1)由题意可知，f(1)12a12，即a1，此时函数f(x)x22x1(x1)222，故当x1时，fxmin2.(2)若f(x)为偶函数，则对任意xR，f(x)(x)22a(x)1f(x)x22ax1，即4ax0，故a0.(3)因为函数f(x)x22ax1的单调递减区间是(，a，而f(x)在(，4上单调递减，所以4a，即a4，故实数a的取值范围为(，4.课堂十分钟1答案：A2答案：D3答案：D4答案：x|1x135解析：(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，则f(0)0.设x0，因为x0时，f(x)x22x3.所以f(x)f(x)(x22x3)x22x3.于是有f(x)x2-2x+3，x0，0，x=0，-x2-2x-3，x0. (2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图由图象可知函数f(x)的单调区间是(，1，1，)，1，0)，(0，1，其中f(x)在前两个区间上单调递增，在后两个区间上单调递减
