1、【课标要求】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题自主学习 基础认识|新知预习|平面向量基本定理与基底(1)平面向量基本定理：条件结论 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量a 是该平面内的任一向量存在唯一一对实数 1，2，使得 a1e12e2(2)基底：成为基底的条件：向量 e1，e2 不共线|自我尝试|1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底()(2)若 e1，e2 是同一平面内两个不共线向量，则 1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量()(3)若 ae1be2ce1d
2、e2(a，b，c，dR)，则 ac，bd.()2下面三种说法：一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可以作为基底中的向量其中正确的说法是()A BCD解析：平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平面内所有向量的基底，基底本身也可以用这组基底表示，故错；对；由于零向量与平面内的任一向量共线，故正确 答案：B3设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()Ae1，e2Be1e2,3e13e2Ce1,5e2De1，e1e2解析：不能作为基底的条件是两向量共线 3e1
3、3e23(e1e2)，e1e2 与 3e13e2 共线 答案：B4已知 AD 是ABC 的中线，ABa，AD b，以 a，b 为基底表示AC，则AC()A.12(ab)B2baC.12(ba)D2ba解析：如图，AD 是ABC 的中线，则 D 为线段 BC 的中点，从而AD 12(ABAC)，则AC2AD AB2ba.答案：B5在正方形 ABCD 中，E 是 DC 边上的中点，且ABa，AD b，则BE_.解析：BEBCCEAD 12ABb12a.答案：b12a.课堂探究 互动讲练类型一对基底的理解例 1 设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：AD 与AB；DA 与B
4、C；CA与DC；OD 与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A BC D【解析】AD 与AB不共线；DA BC，则DA 与BC共线；CA与DC 不共线；OD OB，则OD 与OB 共线 由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故满足题意【答案】B方法归纳 对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1ay1bx2ay2b，则x1x2y1y2.跟踪训练 1
5、设 a，b 不共线，c2ab，d3a2b，试判断c，d 能否作为基底解析：假设存在唯一实数，使得 cd，则 2ab(3a2b)，即(23)a(21)b0.因为 a，b 不共线，所以230210 2312.所以这样的 是不存在的，从而 c，d 不共线 所以 c，d 能作为基底类型二用基底表示平面向量例 2 如图所示，在ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交于点 G，若ABa，AD b，试用 a，b 表示向量DE，BF.【解】DE DA ABBE AD AB12BC AD AB12AD a12b.BFBAAD DF ABAD 12ABb12a.方法归纳 用基底
6、表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解跟踪训练 2(1)本例条件不变，试用基底 a，b 表示AG.(2)若本例中的基向量“AB，AD”换为“CE，CF”即若CEa，CFb，试用 a，b 表示向量DE，BF.解析：(1)由平面几何知识知 BG23BF，故AG ABBG AB23BFa23b12a a23b13a23a23b.(2)DE DC CE2FCCE2CFCE2ba.BFBCCF2ECCF 2CECF2ab.类型三平面向量基本定理的应用例 3 如图所示，在ABC 中，点 M 是
7、 AB 的中点，且AN13AC，BN 与 CM 相交于点 E，设ABa，ACb，试用基底 a，b 表示向量AE.【解析】易得AN13AC13b，AM 12AB12a，由 N，E，B 三点共线可知，存在实数 m 使AEmAN(1m)AB13mb(1m)a.由 C，E，M 三点共线可知，存在实数 n 使AEnAM(1n)AC12na(1n)b.所以13mb(1m)a12na(1n)b，由于 a，b 为基底，所以1m12n13m1n，解得 m35，n45，所以AE25a15b.方法归纳 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量 e1，e2 的线性组合 1e12e2，在
8、具体求 1，2 时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用待定系数法，即利用定理中 1，2 的唯一性列方程组求解跟踪训练 3 已知OAB 中，延长 BA 到 C，使 ABAC，D是将OB 分成 21 两部分的一个分点，DC 和 OA 交于点 E，设OA a，OB b.(1)用 a，b 表示向量OC，DC；(2)若OE OA，求实数 的值解析：(1)A 为 BC 的中点，OA 12(OB OC)，OC 2ab.DC OC OD OC 23OB 2ab23b2a53b.(2)OE OA，CE OE OC OA OC a2ab(2)ab.CE与CD 共线，存在实数
9、 m，使得CEmCD，即(2)abm2a53b，即(2m2)a153m b0.a，b 不共线，2m20153m0，解得 45.|素养提升|1基底的性质(1)不共线性：平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表现也不同由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底(2)不唯一性：对基底的选取不唯一，平面内任一向量 a 都可被这个平面的一组基底 e1，e2 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的2对平面向量基本定理的四点说明(1)实质：平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式(2)唯一性：平面向量基本定理中，平面内任意
10、两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底，故基底的选取不唯一(3)特殊性：零向量与任意向量都共线，因此零向量不能作为基底(4)体现的数学思想：这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，可以选择恰当的基底，将问题中涉及的向量用基底化归，使问题得以解决|巩固提升|1设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：AD 与AB；DA 与BC；CA 与DC；OD 与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A BCD解析：AD 与AB不共线；DA BC，则DA 与B
11、C共线；CA与DC 不共线；OD OB，则OD 与OB 共线由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故满足题意 答案：B2在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点若CErABsAC，则 rs()A1 B.34C34D12解析：因为 D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，所以AD 12(ABAC)，AE12AD 14(ABAC)所以CECAAEAC14(ABAC)14AB34AC.又CErABsAC，所以 r14，s34，所以 rs12.答案：D3若|a|b|ab|，则 a 与 b 的夹角为_解析：如图，作OA a，OB b，BAab，因为|a|b|ab|，所以 OAOBAB，所以 a 与 b 的夹角为AOB60.答案：60
