1、2极坐标系2.1极坐标系的概念学习目标：1.了解极坐标系，理解极坐标的概念(重点)2.能在极坐标系中用极坐标判定点的位置(难点)3.能进行点坐标和极坐标的互化(易错易混点)教材整理极坐标系与极坐标1极坐标系的概念如图所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系2极坐标的概念对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长，表示以Ox为始边、OM为终边的角度，叫作点M的极径，叫作点M的极角，有序实数对(，)叫作点M的极坐标，记作M(，). 特别地，当点M在极点时，它的极径0，极角可以取任意
2、值3点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，)(R)和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0，02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)极轴是以极点为端点的一条射线()(2)极角的大小是唯一的()(3)点与点是同一个点()解析(1)极轴是以极点为端点的一条射线(2)因为极角是以极轴为始边，终边是过极点与目标点的射线，可正、可负，相差2k.(3)因为极角不相差2的整数倍，故不表示同一个点答案(1)(2)(3)根据点
3、的位置确定点的极坐标【例1】设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标(限定0,00,02，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的2写点的极坐标要注意顺序：极径在前，极角在后，不能颠倒顺序1若使正六边形的一个顶点为极点且边长为a，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的极坐标解建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：A(0,0)，B(a,0)，C，D，E，F.极坐标确定点的位置【例2】已知点A的极坐标是，分别在下列给定条件下，画出点A关于极点O的对称点A的位置，并写出A的极坐标：(1)0，；(2)0,02；(3)0，20.精彩点拨本题以极坐
4、标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力尝试解答如图所示，|OA|OA|6，xOA，xOA，即A与A关于极点O对称，由极坐标的定义知：(1)当0，时，A点的坐标为；(2)当0,02时，A点的坐标为；(3)当0，20时，A点的坐标为.由极坐标确定点的位置的步骤：(1)取定极点O；(2)作方向为水平向右的射线Ox为极轴；(3)以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边；(4)以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置2在同一个极坐标系中，画出以下各点：A，B，C，D.解如图所示极坐标系
5、的建立及应用探究问题1建立极坐标系需要哪几个要素？这几个要素间有什么关系？提示建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径表示点M与极点O的距离|OM|，因此0.但必要时，允许0.2为什么点的极坐标不唯一？能用三角函数的概念解释吗？提示根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2的整数倍，所以点(，)还可以写成(，2k)(kZ)；二是终
6、边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(，)的坐标还可以写成(，2k)(kZ)【例3】某大学校园的部分平面示意图如图所示用点O，A，B，C，D，E，F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标(限定0,02且极点为(0,0)精彩点拨解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标尝试解答以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示由|OB|600 m，AOB30，OAB90，得|AB|300 m，|OA|300 m，同样求得|OD|2|OF|300m，所以各点
7、的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，B，C，D，E(300，)，F.在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在0，0,2)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的3在极坐标系中，已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B(2，)，C.(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积解(1)如图所示，由A，B(2，)，C得|OA|OB|OC|2，AOBBOCAOC.AOBBOCAOC，ABBCCA，故ABC为等边三角形(2)由上述可知，AC2OAsin 222，SABC(2)23.1在极坐标系中与点P表示同一点的是()A.BC. D解析在极坐标系中将
8、点P确定，再逐个验证知C正确答案C2已知极坐标平面内的点P，则P关于极点的对称点的极坐标为()A. BC. D解析点P关于极点的对称点的极坐标为.答案D3若A，B，O为极点，则AOB的面积为_解析SAOB.答案4关于极坐标系的下列叙述：极轴是一条射线；极点的极坐标是(0,0)；点(0,0)表示极点；点M与点N表示同一个点其中，叙述正确的序号是_解析设极点为O，极轴就是射线Ox，正确；极点O的极径0，极角是任意实数，极点的极坐标应为(0，)，错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，正确；点M与点N的极角分别是1，2，二者的终边互为反向延长线，错误答案5已知边长为2的正方形ABCD的中心在极点，且一组对边与极轴Ox平行，求正方形的顶点的极坐标(限定0,02)解如图所示，由题意知|OA|OB|OC|OD|，xOA，xOB，xOC，xOD.正方形的顶点坐标分别为A，B，C，D.
