1、04年圆锥曲线高考题汇编1设中心的原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 . 152如果过两点和的直线与抛物线没有交点,那么实数的取值范围是_.153设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=1,则它的焦点坐标为 . 2(5,0)4圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0, 4),B(0, 2),则圆C的方程为 . 8(x2)2+(y+3)2=5 5教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 11用代数的方法研究图形的几何性质 6由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,APB=60,则动点P
2、的轨迹方程为 . 15 7若经过点P(1,0)的直线与圆相切,则此直线在y轴上的截距是 . 1318以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_.149F1,F2是椭圆C:的焦点,在C上满足PF1PF2的点P的个数为_.15210 设P为圆上的动点,则点P到直线的距离的最小值为 . 16111对任意实数K,直线:与椭圆:恒有公共点,则b取值范围是_ 161,312曲线C:(为参数)的普通方程是_,如果曲线C与直线有公共点,那么实数a的取值范围是_. 12 13过抛物线的焦点作垂直于轴的直线,交抛物线于、两点,则以为圆心、为直径的圆方程是_.414.若直线与圆没有公共点,则
3、m,n满足的关系式为_;以(m,n)为点P的坐标,过点P的一条直线与椭圆的公共点有_个。14. 215.双曲线的渐近线方程是(A) A. B. C. D. 16已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为:(B)A B C D17若双曲线的焦点到它相对应的准线的距离是2,则k= (C A ) A 6 B 8 C 1 D 418 圆在点处的切线方程是(D)A B C D 19设双曲线的焦点在轴上,两条渐近线为,则双曲线的离心率( C)A 5 B C D 20如果双曲线上一点P到右焦点的距离为, 那么点P到右准线的距离是(A)AB13C5D21若双曲线的一
4、条准线与抛物线的准线重合,则双曲线的离心率为(A)A B C 4 D22已知点、,动点,则点P的轨迹是DA圆B椭圆C双曲线D抛物线23已知点、,动点P满足. 当点P的纵坐标是时,点P到坐标原点的距离是AABCD224椭圆的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则ABCD425设抛物线的准线与轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是(C )AB2,2C1,1D4,426已知圆C与圆关于直线对称,则圆C的方程为( C)A B CD27 若为圆的弦AB的中点,则直线AB的方程是( A)A B C D 28设P是双曲线上一点,双曲线的一条渐近
5、线方程为,、分别是双曲线的左、右焦点。若,则(C)A 或 B 6 C 7 D929若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点,则的取值范围是(A)A BC D 30点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为(A) (A)( (B)( (C)( (D)(31曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是(C)(A)y2=8-4x (B)y2=4x8 (C)y2=16-4x (D)y2=4x16 32椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被点(,0)分成5:3两段,则此椭圆的离心率为(D) (A) (B) (C) (D)33(本题满分14分)解:已知双曲线
6、的中心在原点,右顶点为A(1,0).点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1.()若直线AP的斜率为k,且,求实数m的取值范围;()当时,APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.解: ()由条件得直线AP的方程(即.又因为点M到直线AP的距离为1,所以得. 2,解得+1m3或-1m1-.m的取值范围是()可设双曲线方程为 由 得.又因为M是APQ的内心,M到AP的距离为1,所以MAP=45,直线AM是PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此,(不妨设P在第一象限)直线PQ方程为.直线AP的方程y=x-1,解得P的坐标是(2+,1+),将P点坐标代入得, 所以所
7、求双曲线方程为即34(本小题满分14分) 椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点的准线与轴相交于点A,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(I) 求椭圆的方程及离心率;(II)若求直线PQ的方程. (I)解:由题意,可设椭圆的方程为 由已知得 解得 所以椭圆的方程为,离心率 4分(II)解: 由(I)可得设直线PQ的方程为由方程组 得 依题意 得设 则 由直线PQ的方程得 于是 由得从而所以直线PQ的方程为或 14分35(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分 如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点. (1) 求点Q
8、的坐标;(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求OPQ面积的最大值.解:(1) 解方程组y=x得x1=4, x2=8y=x24y1=2, y2=4 即A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x24). 点P到直线OQ的距离d=, ,SOPQ=. P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 4x44或44|PA|,42(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点,又与双曲线x2y2=1相交于C、D两点
9、, C、D三等分线段AB 求直线的方程.解:首先讨论l不与x轴垂直时的情况,设直线l的方程为y=kx+b,如图所示,l与椭圆、双曲线的交点为:依题意有,由若,则与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故由故l的方程为(ii)当b=0时,由(1)得由故l的方程为再讨论l与x轴垂直的情况.设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得,综上所述,故l的方程为、和43(本小题满分12分)YBQ(2p,0)XAOy2=2px设是一常数,过点的直线与抛物线交于相异两点A、B,以线段AB为直经作圆H(H为圆心)。试证抛物线顶点在圆H的圆周上;并求圆H的面积最小时直线AB的方程.解法一:由题意,直线AB
10、不能是水平线, 故可设直线方程为:.又设,则其坐标满足消去x得 由此得 因此.故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H()是AB的中点,故由前已证,OH应是圆H的半径,且.从而当k=0时,圆H的半径最小,亦使圆H的面积最小.此时,直线AB的方程为:x=2p.解法二:由题意,直线AB不能是水平线,故可设直线方程为:ky=x2p又设,则其坐标满足分别消去x,y得故得A、B所在圆的方程明显地,O(0,0)满足上面方程所表示的圆上,又知A、B中点H的坐标为故 而前面圆的方程可表示为故|OH|为上面圆的半径R,从而以AB为直径的圆必过点O(0,0).又,故当k=0时,R2最小,从而圆的面积最小,此时直线AB
11、的方程为:x=2p.解法三:同解法一得O必在圆H的圆周上又直径|AB|=上式当时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小.此时直线AB的方程为x=2p.44(本小题满分14分) 如图,过抛物线上一定点P()(),作两条直线分别交抛物线于A(),B() (I)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离 (II)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数解:(I)当时,, 又抛物线的准线方程为. 由抛物线定义得,所求距离为. (2)设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为 由,, 相减得. 故. 同理可得. 由PA,PB倾斜角互补知, 即, 所以, 故. 设直线AB
12、的斜率为 由, 相减得, 所以. 将代入得 ,所以是非零常数.45.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知倾斜角为的直线过点和点,在第一象限,.(1) 求点的坐标;(2) 若直线与双曲线相交于、两点,且线段的中点坐标为,求的值;(3) 对于平面上任一点,当点在线段上运动时,称的最小值为与线段的距离. 已知点在轴上运动,写出点到线段的距离关于的函数关系式.解:(1) 直线方程为,设点,由及,得,点的坐标为。(2)由得,设,则,得。(3)(解法一)设线段上任意一点坐标为,记,当时,即时,当,即时,在上单调递减,;当,即时,在上单调递增,。综上
13、所述,(解法二) 过、两点分别作线段的垂线,交轴于、,当点在线段上,即时,由点到直线的距离公式得:;当点的点在点的左边,时,;当点的点在点的右边,时,。综上所述,46. (04年春季北京卷) (本小题满分15分) 已知点A(2,8),在抛物线上,的重心与此抛物线的焦点F重合(如图) (I)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标; (II)求线段BC中点M的坐标; (III)求BC所在直线的方程。18. 本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。满分15分解:(I)由点A(2,8)在抛物线上,有 解得 所以抛物线方程为,焦点F的坐标为(8,0)(II)如图,由F(8,0)是的重心,M是BC的中点,所以F是线段AM的定比分点,且 设点M的坐标为,则 解得 所以点M的坐标为(III)由于线段BC的中点M不在x轴上,所以BC所在的直线不垂直于x轴。 设BC所成直线的方程为 由消x得 所以 由(II)的结论得 解得 因此BC所在直线的方程为 即