1、高考资源网（） 您身边的高考专家23直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离(重点)2.会用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系(难点)3.会求简单的弦长及圆的切线方程等问题(重点)1.通过学习几何法、代数法判断直线与圆的位置关系培养直观想象素养.2.通过求简单的弦长及圆的切线方程等问题提升数学运算素养.直线与圆的位置关系直线l：AxByC0和圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的判断方法：位置关系图示几何法代数法相离dr0相切dr0相交d0其中是由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次
2、方程的判别式思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面、不同的思路来判断的“几何法”侧重于“形”，很好地结合了图形的几何性质；“代数法”侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”1直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()A过圆心B相切C相离 D相交D圆心为(1，1)，圆心距d3r，所以直线与圆相交2当直线xya0与圆x2(y1)22相离时，a的取值范围是_(，1)(3，)圆x2(y1)22的圆心为(0,1)，半径为r，圆心(0,1)到直线xya0的距离d，依题意，解得a3.3直线x2y
3、50与圆x2y28相交于A，B两点，则|AB|_.2d，所以|AB|222.直线与圆位置关系的判断【例1】已知直线方程mxym10，圆的方程x2y24x2y10.当m为何值时，圆与直线：有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点解法一：将直线mxym10代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，当0时，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当0时，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当0时，即m0，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为C(2,1)，半径r2.圆心C(2
4、,1)到直线mxym10的距离d.当d0或m2时，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过对定点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系1直线xky10与圆x2y21的位置关系是()A相交B相离C相交或相切 D相切C直线xky10恒过定点(1,0)，而点(1,0)恰在圆x2y21上，故直线与圆至少有一个公共点，故选C.直线与圆相切问题【例2】(1)过圆x2y22x4y0上一点P(3,3)
5、的切线方程为()A2xy90B2xy90C2xy90 D2xy90(2)由直线yx1上任一点向圆(x3)2y21引切线，则该切线长的最小值为()A1 B2C. D3(3)求过点P(2,3)且与圆(x1)2(y2)21相切的直线的方程(1)B(2)C(1)由题意得，圆心(1,2)，切点P(3,3)，则切线斜率为2.所以切线方程为y32(x3)，即：2xy90.(2)由题意得，圆心(3,0)到直线yx1的距离d2，圆的半径为1，故切线长的最小值为.(3)解：易知点P(2,3)在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，符合要求；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y3k(x2)，根据圆心到直线的
6、距离等于半径，得d1，解得k0，所以直线的方程为x2或y3.过圆外一点作圆的切线一定有两条.其求法有两种方法：(1)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.(2)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由0求得k，切线方程即可求出.,另外：要注意过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法.当求得k值是一个时，则另一条切线的斜率一定不存在.2求过点M(3,1)，并且与圆C：(x1)2(y2)24相切的直线方程解(31)2(12)254，点M在圆C外部当
7、过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.弦长问题探究问题1如图，直线l与圆O相交于A，B两点，结合图形思考下列问题：若弦AB的长记为L，结合图形请写出L，d，r之间的关系式提示：L2.2设直线ykxb与圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)则|AB|的长为多少？提示：|AB|x1x2|.【例3】求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的
8、弦长思路探究本题可以考虑利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解，若交点坐标易求，则可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解解法一：圆C：x2y22y40可化为x2(y1)25，其圆心坐标为(0,1)，半径r.点(0,1)到直线l的距离为d，t2，所以截得的弦长为.法二：设直线l与圆C交于A、B两点由得交点A(1,3)，B(2,0)，所以弦AB的长为|AB|.1若本例改为“过点(2,0)的直线被圆C：x2y22y40截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解解由例题知，圆心C(0,1)，半径r，又弦长为.所以圆心到直线的距离d.又直线过点(2,0)，知直线斜率一定存在可设直线
9、斜率为k，则直线方程为yk(x2)，所以d，解得k3或k，所以直线方程为y3(x2)或y(x2)，即3xy60或x3y20.2本例若改为“求过点M(1,2)且被圆C：x2y22y40所截弦长最短时，直线的方程”，又如何求解？解由例题知圆心C(0,1)，圆的标准方程为x2(y1)25.因为12(21)20)相切，则m的值为_2由圆心到直线的距离d，解得m2.3由点P(1,3)引圆x2y29的切线，其切线长是_1点P到原点O的距离为|PO|，r3，切线长为1.4已知过点M(3，3)的直线l被圆x2y24y210所截得的弦长为4，求直线l的方程解将圆的方程写成标准形式，得x2(y2)225，所以，圆心的坐标是(0，2)，半径长r5.因为直线被圆截得的弦长为4，所以，弦心距为，设过点M的直线方程为y3k(x3)，即kxy3k30.由弦心距为，得，解得k或k2，所以，所求直线有两条，它们的方程分别为x2y90或2xy30.- 8 - 版权所有高考资源网
