1、第2章 3 计算导数A级基础巩固一、选择题1下列结论中不正确的是(B)A若yx4，则y|x232B若y，则y|x2C若y，则y|x1D若yx5，则y|x15解析()(x) xy|x2.故B错误2若f(x)，则f(1)(D)A0BC3D解析f(x)，f(x)xf(1)(1)，选D.3函数f(x)x3的斜率等于1的切线有(B)A1条B2条C3条D不确定解析f(x)3x2，3x21，解得x，故存在两条切线，选B.4(2019武汉期末)若f(x)x5，f (x0)20，则x0的值为(B)A BC2 D2解析函数的导数f (x)5x4，f (x0)20，5x20，得x4，则x0，故选B.5若曲线yx4的
2、一条切线l与直线x4y80垂直，则切线l的方程为(A)A4xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30解析y4x3，直线x4y80的斜率为，所以切线l的斜率为4.所以4x34，解得x1.所以切点为(1,1)，切线l的方程为y14(x1)，即4xy30.6设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a(D)A0B1C2D3解析 f(x)axln(x1)，f(x)a.f(0)0，且f(0)2.联立解得a3，故选D.二、填空题7已知函数f(x)，且f(a)f(a)2，则a1或.解析f(x)，f(a)，f(a)f(a)，2，解a1或.8(2019全国卷理，13)曲线y3(x2x)
3、ex在点(0,0)处的切线方程为y3x.解析y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)， 斜率ke033， 切线方程为y3x.三、解答题9将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大，求在2s末被扰动水面面积的增长率解析设被扰动水面的面积为S，时间为t，依题意有SR236t2，所以S72t，所以2s末被扰动水面面积的增长率为S|t2144(m2/s)B级素养提升一、选择题1(2019全国卷文，10)曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为(C)Axy10 B2xy210C2xy210 Dxy10解析设yf(x)2sin xcos
4、x，则f(x)2cos xsin x， f()2， 曲线在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210.故选C.2(2018全国卷理，5)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为(D)Ay2x ByxCy2x Dyx解析 f(x)x3(a1)x2ax， f (x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数， f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立， a1， f (x)3x21， f (0)1， 曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.二、填空题3(2018全国卷理，14)曲线
5、y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a3.解析 y(axa1)ex， 当x0时，ya1， a12，得a3.4函数yx2(x0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*，若a116，则a1a3a5的值是21.解析y2x，在点(ak，a)的切线方程为ya2ak(xak)，又该切线与x轴的交点为(ak1,0)，所以ak1ak，即数列ak是等比数列，首项a116，其公比q，a34，a51，a1a3a521.三、解答题5试比较曲线yx2与y在它们交点处的切线的倾斜角的大小解析解方程组，得，即两条曲线的交点坐标为(1,1)对于函数yx2，y2x，所以曲线yx2
6、在交点(1,1)处的切线l1的斜率k12；对于函数y，y，所以曲线y在交点(1,1)处的切线l2的斜率k21.由于k10，k20，所以切线l1的倾斜角小于切线l2的倾斜角6(2018全国卷文，21(1)已知函数f(x).求曲线yf(x)在点(0，1)处的切线方程解析f (x)，f (0)2.因此曲线yf(x)在(0，1)处的切线方程是2xy10.C级能力拔高求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离解析解法1：设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线xy20的距离最短y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标为(，)，所求的最短距离d.解法2：设与抛物线yx2相切且与直线xy20平行的直线l的方程为xym0(m2)，由得x2xm0.直线l与抛物线yx2相切，判别式14m0，m，直线l的方程为xy0，由两平行线间的距离公式得所求最短距离d.解法3：设点(x，x2)是抛物线yx2上任意一点，则该点到直线xy20的距离d|x2x2|(x)2.当x时，d有最小值，即所求的最短距离为.