1、第二讲 平面向量的数量积及应用题组 1 数量积的定义及长度、角度问题1.2016 全国卷,3,5 分已知向量 =(,),=(,),则ABC=()A.30B.45C.60D.1202.2016 山东,8,5 分理已知非零向量 m,n 满足 4|m|=3|n|,cos=.若 n(tm+n),则实数t 的值为()A.4 B.-4C.D.-3.2015 安徽,8,5 分理ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足 =2a,=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1B.abC.ab=1D.(4a+b)4.2015 福建,9,5 分理已知 ,|=,|=t.若点 P 是ABC 所在平面
2、内的一点,且 =+,则 的最大值等于()A.13 B.15C.19D.215.2015 重庆,6,5 分理若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),则 a 与 b 的夹角为()A.B.C.D.6.2017 全国卷,13,5 分理已知向量 a,b 的夹角为 60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.7.2017 山东,12,5 分理已知 e1,e2 是互相垂直的单位向量.若 e1-e2 与 e1+e2 的夹角为 60,则实数 的值是 .8.2017 天津,13,5 分理在ABC 中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 ,=-(R),且 =-4,则 的值为 .9
3、.2016 浙江,15,4 分已知平面向量 a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1,若 e 为平面单位向量,则|ae|+|be|的最大值是 .题组 2 平面向量的综合应用10.2017 全国卷,12,5 分理已知ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 (+)的最小值是()A.-2 B.-C.-D.-111.2017 浙江,10,4 分理 如图 5-2-1,已知平面四边形 ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与 BD 交于点 O.记 I1=,I2=,I3=,则()图 5-2-1A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I312
4、.2015 山东,4,5 分理已知菱形 ABCD 的边长为 a,ABC=60,则 =()A.-a2B.-a2C.a2D.a213.2015 新课标全国,5,5 分理已知 M(x0,y0)是双曲线 C:-y2=1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点.若 0,则 y0 的取值范围是()A.(-,)B.(-,)C.(-,)D.(-,)14.2015 湖南,8,5 分理已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0),则|+|的最大值为()A.6B.7C.8D.915.2014 天津,8,5 分理已知菱形 ABCD 的边长为 2,BAD=120,点 E
5、,F 分别在边 BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若 =1,=-,则+=()A.B.C.D.16.2015 广东,16,12 分理在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=(,-),n=(sin x,cos x),x(0,).(1)若 mn,求 tan x 的值;(2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值.A 组基础题1.2018 郑州一中高三入学测试,7ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,2 =+,且|=|,则向量 在向量 方向上的投影为()A.B.-C.-D.2.2017 长沙市五月模拟,8已知|a|=1,a 与 b 的夹角是 ,(a+2b)a=3,则|b|的值是()A.3
6、B.1C.D.23.2017 桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,3 在如图 5-2-2 所示的矩形 ABCD中,AB=4,AD=2,E 为线段 BC 上的点,则 的最小值为图 5-2-2()A.12B.15 C.17D.164.2018 山西省名校第一次联考,13已知向量 a=(6,-2),b=(1,m),且 ab,则|a-2b|=.5.2018 广东七校联考,13设向量 a,b 满足:|a|=1,|b|=2,a(a-b),则 a 与 b 的夹角是 .6.2018 合肥市高三调研性检测,14已知 a=(2,5t-1),b=(t+1,-1),若|a+b|=|a-b|,则 t=.7.2018
7、惠州市第一次调考,15已知正方形 ABCD 的中心为 O,且其边长为 1,则(-)(+)=.8.2017 长春市高三第四次质量监测,14若非零向量 a,b 满足|a|=2|b|=|a+b|,则向量 a 与 b 夹角的余弦值为 .B 组提升题9.2018 河北省衡水市武邑中学高三三调,10已知 a,b 为平面向量,若 a+b 与 a 的夹角为 ,a+b与 b 的夹角为 ,则 =()A.B.C.D.210.2017 合肥市高三第三次质量检测,5已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,则下列关系可能成立的是()A.(a-b)aB.(a-b)(a+b)C.(a+b)bD.(a+b)a11.201
8、8 辽宁省五校联考,13已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=3,|b|=4,ab=-12,则 =.12.2018 湖南省益阳市、湘潭市高三联考,14已知非零向量 a,b 满足:ab=0,|a+b|=t|a|,若 a+b与 a-b 的夹角为 ,则 t 的值为 .13.2017 重庆市七校高三联考,14在平面四边形 ABCD 中,已知 =(1,3),=(m,-3),则四边形ABCD 的面积的最大值为 .14.2017 武汉市五月模拟,16如图 5-2-3,在等腰三角形 ABC 中,已知|AB|=|AC|=1,A=120,E,F 分别是边 AB,AC 上的点,且 =,=,
9、其中,(0,1),且+4=1.若线段 EF,BC 的中点分别为 M,N,则|的最小值为 .图 5-2-315.2017 大连市双基测试,17已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=sin Asin B.(1)求角 C;(2)向量 m=(sin A,cos B),n=(cos x,sin x),若函数 f(x)=mn 的图象关于直线 x=对称,求角 A,B.答案1.A 由两向量的夹角公式,可得 cosABC=,则ABC=30.故选 A.2.B 由 n(tm+n)可得 n(tm+n)=0,即 tmn+n2=0,所以t=-=-=-=-3 =
10、-3 =-4.故选 B.3.D 因为 =2a,=2a+b,所以 a=,b=-=,因为ABC 是边长为 2 的等边三角形,所以|b|=2,ab=-1,故 a,b 不垂直,4a+b=2 +=+,故(4a+b)=(+)=-2+2=0,所以(4a+b),故选 D.4.A 依题意,以点 A 为坐标原点,以 AB 所在的直线为 x 轴,AC 所在的直线为 y 轴建立如图 D 5-2-3 所示的平面直角坐标系,则点 P(1,4),B(,0),C(0,t),所以 =(-1,-4)(-1,t-4)=(-1)(-1)-4(t-4)=17-4t17-2 =13(当且仅当 =4t,即 t=时取等号),所以 的最大值为
11、 13,故选 A.图 D 5-2-35.A 由条件,得(a-b)(3a+2b)=3a2-2b2-ab=0,即 ab=3a2-2b2.又|a|=|b|,所以ab=3(|b|)2-2b2=b2,所以 cos=,所以=,故选 A.6.2 易知|a+2b|=2.7.因为 -=-,故 -=,解得=.8.解法一 =+=+=+(-)=+.又 =32 =3,所以 =(+)(-+)=-+(-)+2=-3+3(-)+4=-5=-4,则=.解法二 以点 A 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,建立平面直角坐标系,不妨假设点 C 在第一象限,则 A(0,0),B(3,0),C(1,).由 =2 ,得 D(,),由 =
12、-,得 E(-3,),则 =(,)(-3,)=(-3)+=-5=-4,则=.9.由 ab=1,|a|=1,|b|=2 可得两向量的夹角为 60,建立平面直角坐标系,可设a=(1,0),b=(1,),e=(cos,sin),则|ae|+|be|=|cos|+|cos+sin|cos|+|cos|+|sin|=|sin|+2|cos|,所以|ae|+|be|的最大值为.10.B 图 D 5-2-4如图 D 5-2-4,以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴,以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,),B(-1,0),C(1,0),设 P(x,y),则 =(-
13、x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以 (+)=(-x,-y)(-2x,-2y)=2x2+2(y-)2-,所以当 x=0,y=时,(+)取得最小值,最小值为-,故选 B.11.C 如图 D 5-2-5 所示,图 D 5-2-5四边形 ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得 AOAF,而AFB=90,AOB 与COD 为钝角,AOD 与BOC 为锐角.根据题意,I1-I2=-=(-)=|cosAOB0,I1I3,作 AGBD 于 G,又 AB=AD,OBBG=GDOD,而 OAAF=FCOC,|,而 cosAOB=cosCOD ,即 I1I3.I3I1I2,故选
14、 C.12.D 在菱形 ABCD 中,=,=+,所以 =(+)=+=a2+aacos60=a2+a2=a2.故选 D.13.A 由题意知 a2=2,b2=1,所以 c2=3,不妨设 F1(-,0),F2(,0),所以 =(-x0,-y0),=(-x0,-y0),所以 =-3+=3 -10,所以-y0 ,故选 A.14.B 解法一 因为 A,B,C 均在单位圆上,AC 为直径,故 +=2 =(-4,0),|+|=|2 +|2|+|,又|+1=3,所以|+|4+3=7,故其最大值为 7,故选 B.解法二 因为 A,B,C 均在单位圆上,AC 为直径,不妨设 A(cos x,sin x),B(cos
15、(x+),sin(x+)(k,kZ),C(-cos x,-sinx),+=(cos(x+)-6,sin(x+),|+|=-=-7,故选 B.15.C 如图 D 5-2-6 所示,图 D 5-2-6以菱形 ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系 xOy,不妨设A(0,-1),B(-,0),C(0,1),D(,0),由题意得 =(1-)=(-,-1),=(1-)=(-,-1).因为 =-,所以 3(-1)(1-)+(-1)(-1)=-,即(-1)(-1)=.因为 =+=(-,+1),=+=(-,+1),=1,所以(+1)(+1)=2.由 -,整理得+=.故选 C.16.(1)因
16、为 mn,所以 mn=0.故 sin x-cos x=0,所以 tan x=1.(2)因为 m 与 n 的夹角为 ,所以 cos=-=,故 sin(x-)=.又 x(0,),所以 x-(-,),所以 x-=,即 x=,故 x 的值为 .A 组基础题1.D 依题意知,圆心 O 为 BC 的中点,即 BC 是ABC 的外接圆的直径,ACAB.又 AO=OB=AB=1,因此ABC=60,ACB=30,|=,在 方向上的投影为|cos 30=,故选 D.2.D(a+2b)a=a2+2ab=1+21|b|=3,解得|b|=2,故选 D.3.B 以 B 为坐标原点,BC 所在直线为 x 轴,BA 所在直线
17、为 y 轴,建立如图 D 5-2-7 所示的平面直角坐标系,则 A(0,4),D(2,4),设 E(x,0 0 x2,所以 =(x,-4)(x-2,-4)=x2-2x+16=(x-1)2+15,于是当 x=1,即 E 为 BC 的中点时,取得最小值 15,故选 B.图 D 5-2-74.4 由 a=(6,-2),b=(1,m),且 ab,得 6-2m=0,所以 m=3,所以 a-2b=(4,-8),所以|a-2b|=4.5.60 因为 a(a-b),所以 a(a-b)=0,故|a|2-|a|b|cos=0,解得 cos=,故 a 与 b 的夹角为 60.6.1 因为 a=(2,5t-1),b=
18、(t+1,-1),所以 a+b=(t+3,5t-2),a-b=(1-t,5t),因为|a+b|=|a-b|,所以(t+3)2+(5t-2)2=(1-t)2+(5t)2,解得 t=1.7.1(-)(+)=1 cos 45=1.8.-设向量 a 与 b 的夹角为,由题意得|a|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab,则 2ab+|b|2=0,即2|a|b|cos=-|b|2,故 cos=-.图 D 5-2-8B 组提升题9.B 如图 D 5-2-8 所示,在平行四边形 ABCD 中,=a,=b,=a+b,BAC=,DAC=,所以在ABC 中,由正弦定理得 =.故选 B.10.C|a|=2,|
19、b|=1,设向量 a,b 的夹角为,若(a-b)a,则(a-b)a=a2-ab=4-2cos=0,解得 cos=2,显然 不存在,故 A 不成立;若(a-b)(a+b),则(a-b)(a+b)=a2-b2=4-1=30,故 B 不成立;若(a+b)b,则(a+b)b=b2+ab=1+2cos=0,解得 cos=-,即=,故 C 成立;若(a+b)a,则(a+b)a=a2+ab=4+2cos=0,解得 cos=-2,显然 不存在,故 D 不成立.故选 C.11.-因为|a|=3,|b|=4,ab=-12,所以向量 a,b 的夹角为 180,即 a=-b,又 a=(x1,y1),b=(x2,y2)
20、,所以 =-.12.因为非零向量 a,b 满足 ab=0,所以(a-b)2=(a+b)2,即|a+b|=|a-b|.又|a+b|=t|a|,所以|a+b|=|a-b|=t|a|.因为 a+b 与 a-b 的夹角为 ,所以 -=cos .整理,得 -=.即(2-t2)|a|2=2|b|2.又|a+b|=t|a|,两边平方,得|a|2+|b|2=t2|a|2,所以|a|2+-=t2|a|2,解得 t2=.由题意,得 t0,所以 t=.13.15 设 AC 与 BD 相交于点 O,设 B,D 到 AC 的距离分别为 dB,dD,则 S 四边形 ABCD=|dB+|dD=|(dB+dD|=,当四边形
21、ABCD 的面积最大时,=1m+3(-3)=0,得 m=9,则 S 四边形 ABCD=15.14.连接 AM,AN,由 =|cos =-,=(+)=(+),=(+),=-=(1-)+(1-),=(1-)2-(1-)(1-)+(1-)2=(1-)2-(1-)(1-)+(1-)2,由+4=11-=4,可得 =2-+,(0,1),当=时,|2 取最小值 ,|的最小值为 ,|的最小值为 .15.(1)由已知得 sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B,由正弦定理得 a2+b2-c2=-ab,由余弦定理可得 cos C=-=-.0C,C=.(2)解法一 f(x)=mn=sin Acos x+cos Bsin x=Msin(x+),其中 M=,tan=.f(x)的图象关于直线 x=对称,+=k+,kZ,=k+,kZ,=tan=,即 cos B=sin A.由(1)得 B=-A,cos(-A)=sin A,得 tan A=,A=B=.解法二 f(x)=mn=sin Acos x+cos Bsin x.f(x)的图象关于直线 x=对称,f(0)=f(),即 sin A=-sin A+cos B,3sin A=cos B.由(1)得 B=-A,3sin A=cos(-A),得 tan A=,A=B=.
