1、1不等式的性质11实数大小的比较12不等式的性质1.理解实数大小与实数运算间的关系，会用求差（商）法比较大小.2.理解不等式的性质，能用不等式的性质解决一些简单的问题.实数大小的比较(1)实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大(2)两实数大小与运算间的关系abab0；abab0；abab0，b0时，1ab，1ab；1abbb，bc，那么ac性质3可加性如果ab，那么acbc推论如果ab，cd，那么acbd性质4可乘性如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb0，cd0，那么acbd推论2如果ab0，那么a2b2推论3如果ab0
2、，那么anbn(nN)推论4如果ab0，那么(nN)2.甲同学认为abb0b，ab03，比较x33与3x2x的大小；(2)若m0，试比较mm与2m的大小思路点拨(1)(2)解(1)x333x2xx2(x3)(x3)(x3)(x1)(x1)x3，(x3)(x1)(x1)0，x333x2x.(2)，当m2时，1，此时mm2m，当0m2时，01，1，mm2时，1，1，mm2m.规律方法(1)本题为了确定差的符号，变形过程中进行了因式分解，从而顺利得出结论思维过程：直接判断(无法做到)考查差的符号(难以确定)考查积的符号考查积中各因式的符号(成功)(2)作商比较法的步骤是：作商变形判断(商与1的大小关
3、系)商值比较大小，多适用于结构是乘积或幂的形式，而且一定要注意判定分母的符号变式训练1已知xR，比较x31与2x22x的大小解：(x31)(2x22x)(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)，x2x10，当x1时，(x1)(x2x1)0，即x312x22x；当x1时，(x1)(x2x1)0，即x312x22x；当x1时，(x1)(x2x1)0，即x31b，cd，则acbd；(2)若ab0，cd0，则；(3)若ab，cbd；(4)若ab，则anbn，(nN且n2)思路点拨判断命题的真假，要注意一些特殊方法的应用，如：图像法、特值法等在判断中，若要运用不等式的性质，一
4、定要强调不等式性质中条件的作用解(1)取a3，b2，c2，d3，即32，23，此时acbd6.因此(1)为假命题(2)取a6，b4，c3，d2，此时2，因此(2)为假命题(3)cd，又ab，acbd，因此(3)为真命题(4)当ab0时，才能成立，因此(4)为假命题规律方法(1)判断命题的真假往往用举反例予以否定，或从条件入手，看是否能推出与结论一致的结论(2)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质变式训练2a、b为实数，下面命题中正确的个数是()若ab则a2b2；若|a|b，则a2b2；若a|b|，则a2b2；若a2b2，则ab；若|a|b，
5、则a2b2.A0B1C2 D3解析：选B.若a0，b1，易得错误；若a2，b1得错误；若a2，b2，得错误；因a|b|0，所以a2b2，得正确，故选B.利用不等式性质求范围(12分)设f(x)ax2bx，且1f(1)2，2f(1)4，在求f(2)的取值范围时有如下解法：由得3f(2)4a2b12.上述解法是否正确？为什么？思路点拨不正确f(1)ab，f(1)ab，而ab与ab中的a、b不是独立的，是相互制约的错在多次运用同向不等式相加(单向性)这一性质上，导致f(2)的范围扩大因此需要将f(2)用ab与ab整体表示规范解答不正确.2分设f(2)mf(1)nf(1)，则4a2bm(ab)n(ab
6、)，即4a2b(mn)a(mn)b.于是解得6分f(2)3f(1)f(1).8分而1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10.故5f(2)10.10分故f(2)的取值范围是5，10.12分规律方法先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径变式训练3已知1x3，1y2，试分别求xy，xy，的取值范围解：因为1x3，1y2，所以0xy5.又2y1，所以3xy2.又1，当0x3时，03；当1x0时，0x1，01，所以10.所以1b0，cd0，e.思路点拨已知e0，故只需证(bd)2.证明cdd0.ab0，acbd
7、0，(ac)2(bd)20，又e0，.规律方法进行简单不等式的证明时，如果不能直接应用不等式性质得到，我们可以先分析需要证明的不等式的结构特点，利用不等式性质进行逆推，寻找其成立的充分条件变式训练4已知ab0，cd0，求证：.证明：cdd0.又ab0，acbd0，0，而0ba，2aBa22aC.12a解析：选D.当a1，根据可加性32a12a，故D正确.已知a，b都是实数，那么“a2b2”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选D.a2b2 ab(如a2，b1)，又aba2b2(如a1，b2)，“a2b2”是“ab”的既不充分也不必要条件设a1，
8、且mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，则m、n、p的大小关系为()Anmp BmpnCmnp Dpmn解析：选B.当a1时，a212a(a1)20，a212a，2a(a1)a10，2aa1，a212aa1，函数ylogax(a1)单调递增，mpn.若xy，ab，则在axby，axby，axby，xbya，这五个不等式中，恒成立的不等式的序号是_解析：令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab，则ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此不成立又ax6，by6，axby，因此也不正确又1，1，因此不正确由不等式的性质可推出恒成立答案：B能力提升若ab0，则()
9、A. B0b2 D解析：选C.ab且1，0b2，A、B、D错误，C正确已知三个不等式：ab0，bcad0，0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选D.由已知可组成三个命题若ab0，bcad0，则0，此命题正确，只需在不等式bcad0两侧同除以ab，根据不等式性质，整理即得结论；若ab0，0，则bcad0，此命题正确，只需在不等式0两侧同乘以ab，根据不等式性质，整理即得结论；若0，bcad0，则ab0，此命题正确，因为00，又因为bcad0，故ab0.设0ab，则下列不等式中正确的
10、是()Aab BabCab Dab解析：选B.0ab，a0，即a，故选B.若an是各项为正数的等比数列，且公比q1则a1a4与a2a3的大小关系是()Aa1a4a2a3Ba1a40，q0且q1，a1a4(a2a3)a1a1q3a1qa1q2a1(1q)(1q)20，a1a4a2a3.已知函数f(x)xx3，x1，x2，x3R，x1x20，x2x30，x3x10，那么f(x1)f(x2)f(x3)的值()A一定大于0B一定小于0C等于0D正负都有可能解析：选B.x1x20，x2x30，x3x10，2x12x22x30，x1x2x30.又g(x)x3为增函数，x1x2，g(x1)g(x2)，xx，即xx0.同理xx0，xx0，xxx0.f(x1)f(x2)f(x3)x1x2x3xxx0.下列命题：cab；ab0，cd0；0ab；1)ab.其中真命题是_(填序号)解析：cacbab，此命题为真0，此命题为真当b1，a1时，0成立ab，此命题假若1)成立则a0，b0，0a4.答案：.已知，求，的范围解：，.因而两式相加得.又，1，求证：1.证明：x1，1x0, 0，(x1)21(1)20.1.