1、2.4幂函数与二次函数最新考纲考情考向分析1.了解幂函数的概念2.结合函数yx，yx2，yx3，y，y的图象，了解它们的变化情况3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数 特征性质yxyx2
2、yx3yyx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0，当时，恒有f(x)0.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)当n0时，幂函数yxn
3、是定义域上的减函数()(4)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(5)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()(6)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()题组二教材改编2已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()A. B1 C. D2答案C解析由幂函数的定义，知k1，.k.3已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3答案D解析函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，2a6，
4、解得a3，故选D.题组三易错自纠4幂函数f(x)(aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a等于()A3 B4 C5 D6答案C解析因为a210a23(a5)22，f(x)(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)22bc且abc0，则它的图象可能是()答案D解析由abc0和abc知，a0，c0，由c0，排除C.6已知函数y2x26x3，x1,1，则y的最小值是_答案1解析函数y2x26x3的图象的对称轴为x1，函数y2x26x3在1,1上单调递减，ymin2631.题型一幂函数的图象和性质1已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()A奇函数 B偶函数C定义
5、域内的减函数 D定义域内的增函数答案A解析设f(x)x，由已知得，解得1，因此f(x)x1，易知该函数为奇函数2若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()AdcbaBabcdCdcabDabdc答案B解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知abcd，故选B.3若a0，则0.5a,5a,5a的大小关系是()A5a5a0.5a B5a0.5a5aC0.5a5a5a D5a5a0.5a答案B解析5aa，因为a0时，函数yxa在(0，)上单调递减，且0.55，所以5a0.5a5a.思维升华 (1)
6、幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键题型二求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_答案f(x)x22x1解析依题意可设f(x)a(x2)21，又其图象过点(0,1)，4a11，a，f(x)(x2)21x22x1.(2)已知二次函
7、数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.答案x22x解析设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.思维升华 求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR，a0)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.答案(1)x22x1(2)2x24解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa，由已知f(x)ax2bx1，a1
8、，故f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，a，即b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.题型三二次函数的图象和性质命题点1二次函数的图象典例 两个二次函数f(x)ax2bxc与g(x)bx2axc的图象可能是()答案D解析函数f(x)图象的对称轴为x，函数g(x)图象的对称轴为x，显然与同号，故两个函数图象的对称轴应该在y轴的同侧只有D满足命题点2二次函数的单调性典例 函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0答案D解析当a0时，f(x)3x1
9、在1，)上递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0引申探究若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.答案3解析由题意知f(x)必为二次函数且a2xm恒成立，则实数m的取值范围是_答案(，1)解析f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)(2)已知
10、a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_答案解析2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，a.综上，实数a的取值范围是 .思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域跟踪训练 (1)
11、设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()答案D解析由A，C，D知，f(0)c0，从而由abc0，所以ab0，所以对称轴x0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)c0，所以ab0，所以x0，B错误(2)已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_答案1或3解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.(3)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_答案解析由题意得a对1x4恒成立，又22，1，max，a.
12、数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用典例 (12分)设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值思想方法指导研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论规范解答解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.2分当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数，所以最小值为f(t1)t21；5分当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；8分当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1
13、上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.11分综上可知，f(x)min12分1若函数f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(5，3)上()A先减后增 B先增后减C单调递减 D单调递增答案D2(2017江西九江七校联考)若幂函数f(x)(m24m4)在(0，)上为增函数，则m的值为()A1或3 B1C3 D2答案B解析由题意得m24m41，m26m80，解得m1.3已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析由题意知即得a.4已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数
14、a的取值范围是()A0，) B(，0C0,4 D(，04，)答案C解析由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x2(如图)，若f(a)f(0)，从图象观察可知0a4.5已知二次函数f(x)2ax2ax1(a0)，若x1f(x2)Cf(x1)f(x2)D与a值有关答案C解析该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x，又依题意，得x10，又x1x20，当x1，x2在对称轴的两侧时，x1x2，故f(x1)f(x2)当x1，x2都在对称轴的左侧时，由单调性知f(x1)f(x2)综上，f(x1)f(x2)6若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A(，2) B(
15、2，)C(6，) D(，6)答案A解析不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1,4)，所以f(x)f(4)2，所以a2.7已知P，Q3，R3，则P，Q，R的大小关系是_答案PRQ解析P3，根据函数yx3是R上的增函数，且，得333，即PRQ.8已知幂函数f(x)，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围为_答案(3,5)解析幂函数f(x)单调递减，定义域为(0，)，由f(a1)f(102a)，得解得3a5.9对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_答案(4,4)解析由题意可得解得4a0，故0a1.
16、11已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，则a的值为_答案1或2解析f(x)(xa)2a2a1，当a1时，f(x)maxf(1)a2，即a2；当0a1时，f(x)maxf(a)a2a12，此时无解；当a0时，f(x)maxf(0)1a2，a1.综上，a1或a2.12已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴x2,3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，函数f(x)的值域为.(2)对称轴为x.当1，即a时，f(x)ma
17、xf(3)6a3，6a31，即a满足题意；当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1满足题意综上可知，a或1.13已知函数f(x)x2bx，则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由题意知f(x)x2bx2，f(x)min，令tx2bx，则f(f(x)f(t)t2bt2，当b0时，f(f(x)的最小值为，所以“b0”能推出“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”；当b0时，f(f(x)x4的最小值为0，f(x)的最小值也为0，所以“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值
18、相等”不能推出“b0”，故选A.14当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_答案(，5解析方法一不等式x2mx40对x(1,2)恒成立，mxx24对x(1,2)恒成立，即m对x(1,2)恒成立，令yx，则函数yx在x(1,2)上是减函数4y5，54，m5.方法二设f(x)x2mx4，当x(1,2)时，由f(x)1，即a2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，不合题意；当01，即0a2时，符合题意；当0，即a0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围解(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，f(x)(x1)2.F(x)F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由题意得，f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又当x(0,1时，x的最小值为0，x的最大值为2.2b0.故b的取值范围是2,0
