1、第三节二项式定理课时作业练1.若3x+1xn的展开式中各项系数和为1 024,试确定展开式中的有理项.解析令x=1,则22n=1 024,解得n=5.则展开式的通项为Tr+1=C5r(3x)5-r1xr=C5r35-rx10-3r2,有理项需使10-3r2为整数,则r=0,r=2,r=4,有3项,即T1=243x5,T3=270x2,T5=15x-1.2.已知x-2x2n(xN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是101.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含x32的项.解析(1)x-2x2n(xN*)的展开式的通项为Tk+1=Cnkxn-k2(-2)kx-2k=(-2)kC
2、nkxn-5k2,由(-2)4Cn4(-2)2Cn2=10,解得n=8(n=-3舍去).令x=1,得展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.(2)通项Tk+1=C8k(x)8-k-2x2k=C8k(-2)kx8-5k2,令8-5k2=32,则k=1,故展开式中含x32的项为T2=-16x32.3.在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:(1)各项的二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.解析设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+a9y9.(1)各项的二项式系数之和为C90+C91+C92+C99=29.(2)令x=1,y=1,得各项系数之和为a0+a1+
3、a2+a9=(2-3)9=-1.(3)由(2)知a0+a1+a2+a9=-1,令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a9=59,将两式相加,得a0+a2+a4+a6+a8=59-12,此亦为所有奇数项系数之和.4.(2019江苏泰州模拟)已知(3x+x2)2n的展开式中各项系数和比(3x-1)n的展开式中各项系数和大992,求2x-1x2n的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.解析由题意得22n-2n=992,解得n=5.(1)2x-1x10的展开式中第6项的二项式系数最大,即T6=T5+1=C105(2x)5-1x5=-8 064.(2)设第(r+1)项的系数的
4、绝对值最大,则Tr+1=C10r(2x)10-r-1xr=(-1)rC10r210-rx10-2r,故C10r210-rC10r-1210-r+1,C10r210-rC10r+1210-r-1,得C10r2C10r-1,2C10rC10r+1,即11-r2r,2(r+1)10-r,83r113,r=3,故系数的绝对值最大的项是第4项.T4=C103(2x)7-1x3=-15 360x4.5.(2018南通高三调研)已知(1+x)2n+1=a0+a1x+a2x2+a2n+1x2n+1,nN*,记Tn=k=0n(2k+1)an-k.(1)求T2的值;(2)化简Tn的表达式,并证明对任意的nN*,T
5、n都能被4n+2整除.解析由二项式定理,得ai=C2n+1i(i=0,1,2,2n+1).(1)T2=a2+3a1+5a0=C52+3C51+5C50=30.(2)因为(n+1+k)C2n+1n+1+k=(n+1+k)(2n+1)!(n+1+k)!(n-k)!=(2n+1)(2n)!(n+k)!(n-k)! =(2n+1)C2nn+k,所以Tn=k=0n(2k+1)an-k=k=0n(2k+1)C2n+1n-k=k=0n(2k+1)C2n+1n+1+k=k=0n2(n+1+k)-(2n+1)C2n+1n+1+k=2k=0n(n+1+k)C2n+1n+1+k-(2n+1)k=0nC2n+1n+1
6、+k =2(2n+1)k=0nC2nn+k-(2n+1)k=0nC2n+1n+1+k=2(2n+1)12(22n+C2nn)-(2n+1)1222n+1=(2n+1)C2nn,Tn=(2n+1)C2nn=(2n+1)(C2n-1n-1+C2n-1n)=2(2n+1)C2n-1n.又因为C2n-1nN*,所以Tn能被4n+2整除.6.(2019南京师大附中高三模拟)设集合A,B是非空集合M的两个不同子集.(1)若M=a1,a2,且A是B的子集,求所有有序集合对(A,B)的个数;(2)若M=a1,a2,a3,an,且A的元素个数比B的元素个数少,求所有有序集合对(A,B)的个数.解析(1)若集合B
7、中含有2个元素,即B=a1,a2,则A=,a1,a2,则(A,B)的个数为3;若集合B中含有1个元素,则B有C21种结果,不妨设B=a1,则A=,此时(A,B)的个数为C211=2,综上,(A,B)的个数为5. (2)集合M有2n个子集,又集合A,B是非空集合M的两个不同子集,则不同的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n-1). 若A的元素个数与B的元素个数一样多,则不同的有序集合对(A,B)的个数为Cn0(Cn0-1)+Cn1(Cn1-1)+Cn2(Cn2-1)+Cnn(Cnn-1)=(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+(Cnn)2-(Cn0+Cn1+Cn2+Cnn).又(x+1)n
8、(x+1)n的展开式中xn的系数为(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+(Cnn)2,且(x+1)n(x+1)n=(x+1)2n的展开式中xn的系数为C2nn,所以(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+(Cnn)2=C2nn.因为Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n,所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时,有序集合对(A,B)的个数为C2n2-2n. 所以当A的元素个数比B的元素个数少时,有序集合对(A,B)的个数为2n(2n-1)-(C2nn-2n)2=22n-C2nn2.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.(2018南京师大附中高三模拟)某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车,产量
9、分别为1 400辆、5 600辆、2 000辆.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取辆.答案10解析应从丙种型号的产品中抽取2 0001 400+5 600+2 00045=10辆.2.现在某类病毒记作Xm,Yn,其中正整数m,n(m7,n9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为.答案2063解析m取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则m,n都取到奇数的概率为4579=2063.3.已知sin(+)=-13,则tan2-值为.答案22解析sin(+)=-13,sin =13,cos
10、 =223,tan2-=cossin=22.4.如图,已知正方形ABCD的边长为3,E为DC的中点,AE与BD交于点F,则FDDE=.答案-32 解析由相似三角形可得FD=-13DB,则FDDE=-13DBDE=-13323222=-32.5.(2017镇江高三期末)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的左焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合,则双曲线的右准线方程为.答案x=83解析抛物线y2=-12x的焦点(-3,0)为双曲线的左焦点,则a2+1=9,a2=8,则双曲线x28-y2=1的右准线方程为x=a2c=83.6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别是AB,AC,AA1
11、的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V2,则V1V2=.答案124解析易知三棱锥F-ADE与三棱锥A1-ABC的相似比为12,故体积之比为18.又三棱锥A1-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为13.所以三棱锥F-ADE与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为124.7.已知x,y满足约束条件x-y+40,x2,x+y+k0,且z=x+3y的最小值为2,则常数k=.答案-2解析联立方程x=2,x+y+k=0,解得两直线的交点为A(2,-2-k),由z=x+3y得直线方程y=-13x+z3,当直线过点A时,z最小,zmin=2+3(-2-k)=2,
12、解得k=-2.8.已知函数f(x)满足f(x)=f(2x),且当x1,2时, f(x)=ln x,若在区间1,4)内,函数g(x)=f(x)-2ax有三个不同零点,则a的取值范围是.答案0,ln28解析由题意可得f(x)=lnx,x1,2),ln x2,x2,4),作出图象如图,函数g(x)有两个不同的零点,即f(x),x1,4)与y=2ax的图象有两个不同的交点,当y=2ax经过点(4,ln 2)时,a=ln28,由图象可得a的取值范围是0,ln28. 9.(2018江苏启东中学月考)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)的离心率为12,且上焦点为F(0,1),过F的动直线l与椭圆C相
13、交于M、N两点.设点P(3,4),记PM、PN的斜率分别为k1和k2.(1)求椭圆C的方程;(2)如果直线的斜率等于-1,求k1k2的值;(3)探索1k1+1k2是不是定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出1k1,1k2的取值范围.解析(1)e=ca=12,c=1,a=2,b=a2-c2=3,椭圆方程为y24+x23=1.(2)因为直线MN的斜率等于-1,且经过焦点F,所以直线MNy=-x+1,设M(x1,y1)、N(x2,y2),由y=-x+1,y24+x23=1消y得7x2-6x-9=0,则x1+x2=67,x1x2=-97.所以k1k2=y1-4x1-3y2-4x2-3=-x1-3x1
14、-3-x2-3x2-3=x1x2+3(x1+x2)+9x1x2-3(x1+x2)+9=2.(3)当直线MN的斜率不存在时,M (0,2),N(0,-2),则k1=4-23-0=23,k2=4+23-0=2,故1k1+1k2=2.当直线MN的斜率存在时,设其为k,则直线MN:y=kx+1,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y=kx+1,y24+x23=1消y得(4k2+3)x2-8k2x+(4k2-12)=0,则有x1+x2=-6k3k2+4,x1x2=-93k2+4.所以1k1+1k2=x1-3y1-4+x2-3y2-4=x1-3kx1-3+x2-3kx2-3=(x1-3)(kx2-3)+(x2-3)(kx1-3)(kx1-3)(kx2-3)=2kx1x2-3(k+1)(x1+x2)+18k2x1x2-3k(x1+x2)+9=-2k93k2+4+3(3k+1)6k3k2+4+18-k293k2+4+3k6k3k2+4+9=72(k2+1)36(k2+1)=2.所以1k1+1k2为定值,且定值为2.
