1、专题突破练25圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2019辽宁丹东高三总复习质量测试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上的一点,PF1PF2,|F1F2|=2,F1PF2的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)过F2的直线l与C交于A,B两点,设O为坐标原点,若OE=OA+OB,求四边形AOBE面积的最大值.2.(2019安徽合肥高三第三次教学质量检测)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点P1,22在椭圆C上,且PF1F2的面积为22.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点F1的直线l交椭圆于A,B两点
2、,求F2AF2B的取值范围.3.(2019河南驻马店高三上学期期末考试)已知抛物线的顶点在坐标原点,其焦点F在y轴正半轴上,E为直线y=12x上一点,圆E与x轴相切(E为圆心),且E,F关于点M(-2,0)对称.(1)求圆E和抛物线的标准方程;(2)过M的直线l交圆E于A,B两点,交抛物线于C,D两点,求证:|CD|2|AB|.4.(2019贵州贵阳第一中学高考适应性月考卷)已知圆心为C(0,s)(s0),半径为5的圆C被直线3x+4y+1=0截得的弦长为4,等轴双曲线M的上焦点是圆C的圆心.(1)求双曲线M的标准方程;(2)D(-2,0),E(2,0)为x轴上的两点,若圆C内的动点P使得|P
3、D|,|PO|,|PE|成等比数列(O为原点),求PDPE的取值范围.5.(2019湖北恩施高三2月教学质量检测)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,其准线l:x=-1与x轴的交点为K,过点K的直线l与抛物线C交于A,B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)点A关于x轴的对称点为D,证明:存在实数t(0,1),使得KF=tKB+(1-t)KD.6.(2019河南濮阳高三5月模拟考试)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P在椭圆上,且PF1F2的周长为6.(1)求椭圆C的方程;(2)若点P的坐标为(2,1),不过原点O的直线l与椭
4、圆C相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,点P到直线l的距离为d,且M,O,P三点共线,求1213|AB|2+1316d2的最大值.参考答案专题突破练25圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解 (1)由题意得,|PF1|2+|PF2|2=4,12|PF1|PF2|=1,所以a=|PF1|+|PF2|2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|2=2.又c=1,所以b=a2-c2=1.故C的方程为x22+y2=1.(2)由题意得,AB不平行于x轴,设AB:x=my+1,联立x22+y2=1,得(m2+2)y2+2my-1=0,则=8(m2+1)0,y1,y2=-m2(m2+1)m2+2
5、.因为OE=OA+OB,所以四边形AOBE为平行四边形.故四边形AOBE的面积S=2SAOB=|y1-y2|=22m2+1m2+2=22m2+1+1m2+1.因为m2+1+1m2+12,当且仅当m=0时取等号,于是四边形AOBE面积的最大值为2.2.解 (1)设椭圆C的焦距为2c,由椭圆C经过点P1,22,且PF1F2的面积为22,得1a2+12b2=1,又a2=b2+c2,且122c22=22,即c=1.解得a2=2,b2=1.所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).若直线l的斜率不存在,可得点A,B的坐标为
6、-1,22,-1,-22,则F2AF2B=72.当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x+1),代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0.则=16k4-8(1+2k2)(k2-1)=8k2+80恒成立.所以x1+x2=-4k21+2k2,x1x2=2(k2-1)1+2k2.所以F2AF2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=7k2-11+2k2=72-92(1+2k2).又k20,则F2AF2B=72-92(2k2+1)-1,72.综上可知,F2AF2B的取
7、值范围为-1,72.3.(1)解 设抛物线的标准方程为x2=2py(p0),则焦点F的坐标为0,p2.已知E在直线y=12x上,故可设E(2a,a).因为E,F关于点M(-2,0)对称,所以2a+02=-2,p2+a2=0,解得a=-2,p=4.所以的标准方程为x2=8y.因为圆E与x轴相切,故半径r=|a|=2,圆心E(-4,-2),所以圆E的标准方程为(x+4)2+(y+2)2=4.(2)证明 由(1)知,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x+2),则E(-4,-2)到直线l的距离为d=|2k-2|k2+1.所以|AB|=24-d2=42kk2+1,k0.由x2=8y,y=
8、k(x+2),消去y并整理得x2-8kx-16k=0.设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=8k,x1x2=-16k,=64k2+64k0.所以|CD|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=81+k2k2+k.因为k0,k2+kk,k2+11,所以|CD|2|AB|2=2(1+k2)2(k2+k)k2kk=2.所以|CD|22|AB|2,即|CD|2|AB|.4.解 (1)圆心C到直线3x+4y+1=0的距离d=|4s+1|5=(5)2-22=1,得s=1,故圆C的标准方程为x2+(y-1)2=5,C(0,1),双曲线M的上焦点为(0,1),a2=b2=
9、12c2=12.故双曲线M的标准方程为y212-x212=1.(2)设P(x,y).|PD|,PO|,PE|成等比数列,(x+2)2+y2(x-2)2+y2=x2+y2,整理得x2-y2=2,故PDPE=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).由于P在圆C内,则x2+(y-1)25,x2-y2=2,得y2-y-10,得1-52y1+52,则0y20)的准线方程为直线l:x=-1,所以-p2=-1,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明 易知点K的坐标为(-1,0),据此可设直线l的方程为x=my-1,设A(x1,y1),B(x2,y2).联立x=my
10、-1,y2=4x,整理得y2-4my+4=0,故y1+y2=4m,y1y2=4.因为点A关于x轴的对称点为D,A(x1,y1),所以D(x1,-y1).则直线BD的方程为y-y2=y2+y1x2-x1(x-x2),得y-y2=y2+y1(my2-1)-(my1-1)(x-x2),得y-y2=y2+y1m(y2-y1)(x-x2),即y-y2=4y2-y1x-y224.令y=0,得0-y2=4y2-y1x-y224,得x=y224-y2y2-y14=y22-y22+y1y24=y1y24=44=1.所以直线BD恒过定点(1,0).所以点F(1,0)在直线BD上,所以不妨令DF=tDB(t(0,1
11、).因为KF=KD+DF,所以KF=KD+tDB,所以KF=KD+t(KB-KD),所以KF=(1-t)KD+tKB.所以存在实数t(0,1),使得KF=tKB+(1-t)KD,命题得证.6.解 (1)由题意得2c=2,2a+2c=6,解得a=2,c=1.b2=a2-c2=3.椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).当直线l与x轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点M在x轴上,且与O点不重合,显然M,O,P三点不共线,不符合题设条件.故可设直线l的方程为y=kx+m(m0).由y=kx+m,3x2+4y2=12,消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-
12、12=0.则=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)0.x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.所以点M的坐标为-4km3+4k2,3m3+4k2.M,O,P三点共线,kOM=kOP.3m3+4k2-4km3+4k2=12.m0,k=-32.此时方程为3x2-3mx+m2-3=0,则=3(12-m2)0.m(-23,23).则x1+x2=m,x1x2=m2-33.|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=1312(12-m2).又d=|8-2m|32+22=2|m-4|13,1213|AB|2+1316d2=(12-m2)+(m-4)24=-34m+432+523.当m=-43(-23,23)时,1213|AB|2+1316d2的最大值为523.
