1、2充分条件与必要条件21充分条件与必要条件22充分条件与判定定理23必要条件与性质定理 学生用书P4(单独成册)1充分条件与必要条件“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q，通常记作：pq，读作“p推出q”，这时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件2充分条件与判定定理、必要条件与性质定理(1)判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结论成立的依据，也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件对判定定理“若p，则q”可叙述为“q成立的充分条件是p”(2)性质定理同样是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示了这个研究对象的某个特征事实上，性质
2、定理给出了结论成立的必要条件对于性质定理“若p，则q”可叙述为“q是p成立的必要条件” 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)命题“若p，则q”是假命题，p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件()(2)在判定定理中，条件是结论的充分条件()(3)在性质定理中，结论是条件的必要条件()答案：(1)(2)(3) 设、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是()A，lBm，C，mDn，n，m解析：选DA、B、C都推不出m，而D中有，m，所以m a0，b0的一个必要条件为()Aab0Bab0C1D1解析：选A因为a0，b0ab0，所以ab0是a0，b0的必要条件 若aR，则(a1)(a2
3、)0的必要条件是_，一个充分条件是_解析：因为(a1)(a2)0，所以a1或a2，故a1或a2是(a1)(a2)0的必要条件又当a1时，(a1)(a2)0，当a2时，(a1)(a2)0，当a1或a2时，(a1)(a2)0，故(a1)(a2)0的充分条件有三个分别是a1，a2，a1或a2答案：a1或a2a1(或a2)(或a1或a2)1对充分条件的理解充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论；或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了，但需注意，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立例如：x1x21，但是当x1时(如x1时)，x21也成立2对必要条件的理解(1)“p
4、是q的必要条件”的理解：推出关系为qp，若有q，则必须有p；而具备了p，则不一定有q(2)真命题的条件是结论成立的充分条件，但不一定是结论成立的必要条件；假命题的条件不是结论成立的充分条件，但有可能是结论成立的必要条件充分条件与必要条件的判断下列“若p，则q”形式的命题中：若lg x0，则2x2；若sin x，则x；已知nN，若an2n，则an是等差数列其中，p是q的充分条件的是_，q是p的必要条件的是_，p不是q的充分条件的是_，q不是p的必要条件的是_(将符合题意的所有序号都填上)解析若lg x0，则2x2，真命题；若sin x，则x，假命题；已知nN，若an2n，则an是等差数列，真命题
5、；所以，p是q的充分条件的是，q是p的必要条件的是，p不是q的充分条件的是，q不是p的必要条件的是答案：充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法先确定命题的条件和结论若由条件成立结论成立，则条件是充分条件，否则就不是充分条件若由结论成立条件成立，则条件是必要条件，否则就不是必要条件(2)命题判断法如果命题“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件如果命题“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：x1，q：x21；(2)p：ABC有两个角相等，q：ABC是正三角形解：(1)由x1，得x21；
6、由x21，得x1或x1，即pq，且q p，所以p是q的充分条件(2)ABC有两个角相等，则ABC是等腰三角形，不一定是正三角形，所以p q；若ABC是正三角形，则三个角均相等，即任意两个角都相等，所以qp.故p是q的必要条件用充分条件的语言表达真命题用充分条件的语言表示下列定理或结论(1)若，则adbc；(2)若ab0，则a2b2解(1)是adbc的充分条件(2)a2b2的充分条件是ab0对于命题“若p，则q”，若此命题为真(即由p成立，能推出q成立)，则条件p是q成立的充分条件，此命题既可以用充分条件表述为“q成立的充分条件是p”，也可以表示为“p是q成立的充分条件” 2.用充分条件的语言表
7、示下列定理或结论(1)若一个整数的末位数字为0，则它能被5整除；(2)若两直线的斜率之积为1，则这两条直线垂直解：(1)整数能被5整除的充分条件是它的末位数字是0.(即整数的末位数字是0是它能被5整除的充分条件)(2)两直线垂直的充分条件是它们的斜率之积为1.(即两直线的斜率之积为1是这两直线垂直的充分条件)用必要条件的语言表达真命题用必要条件的语言表示下列定理或结论(1)矩形的对角线长相等且相互平分；(2)菱形的对角线互相垂直解(1)四边形为矩形的必要条件是对角线长相等且互相平分(2)四边形为菱形的必要条件是对角线互相垂直本例的定理或结论能用充分条件的语言表述吗？怎样表述？解：(1)一个四边
8、形为矩形是它的对角线相等且平分的充分条件(2)一个四边形为菱形是它的对角线互相垂直的充分条件对于命题“若p，则q”，若此命题为真，则条件q是p成立的必要条件，此命题既可以用必要条件表述为“p成立的必要条件为q”，也可以表示为“q是p成立的必要条件” 3.用必要条件的语言表示下列定理或结论(1)两个全等三角形的面积相等；(2)正方形的对角线互相垂直解：(1)两个三角形全等的必要条件是两个三角形的面积相等(2)四边形为正方形的必要条件是对角线互相垂直思想方法应用转化思想在有关命题的充分、必要条件中求参数的范围(1)是否存在实数p，使“4xp0”是“x2x20”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围
9、；否则，说明理由(2)已知p：x2x20，q：x23mx2m20，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围解(1)由x2x20，解得x2或x1令Ax|x2或x1，由4xp0，得B由题意得BA，即1，即p4，此时x1x2x20，所以当p4时，“4xp0”是“x2x20”的充分条件(2)由p是q的必要条件，得qp，其中，p：x|1x2不等式x23mx2m20，即(xm)(x2m)0，当m0时，解得x0，符合题意；当m0时，解得mx2m，依题意，得所以0m1；当m0时，解得2mxm，依题意，得所以m0综上所述，实数m的取值范围是设集合Ax|x满足p，Bx|x满足q，则命题的充分条件，必要条件与集合的基
10、本关系的转化有以下两个途径：(1)pq可得AB；qp可得BA；(2)AB，可得pq；BA，可得qp1使x1成立的一个必要条件是()Ax0Bx3Cx2Dx2解析：选A因为x1能推出x0，所以x0是x1的必要条件2已知p：x2x0，那么p成立的一个充分条件是()A0x2B1x1CxDx2解析：选Cp：0x1因为x0x1所以x是p成立的充分条件3“不等式x2xm0在R上恒成立”的一个必要条件但不是充分条件是()AmB0m1Cm0Dm1解析：选Cx2xm0在R上恒成立0，即m，因为mm0，所以m0是m的必要条件但不是充分条件4设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的_条件(填“充分”、“必要”)
11、解析：当x2，y2时，x24，y24，故x2y284.故x2且y2x2y24，当x1，y2时，x2y254，但x12，故x2y24 x2且y2，故“x2且y2”是“x2y24”的充分条件答案：充分A基础达标1使不等式成立的充分条件是()AabBabCab0Da0，b0解析：选Da0，b0，其他条件均推不出，故选D2使不等式a2b2成立的必要条件是()AabBabC|a|b|Dab0解析：选C因为a2b2|a|b|，而推不出A、B、D，故选C3下列说法不正确的是()Aab是ab的必要条件Bab不是ab的充分条件C0是sin 0的充分条件D0不是sin 0的必要条件解析：选C由于0 sin 0，例
12、如，sin 0，所以C的说法不正确，其余均正确4若“x1”是“xa”的充分条件，则实数a的取值范围是()Aa1Ba1Ca1Da1解析：选D由题意，需x1xa，所以a1，选D5如果不等式|xa|1成立的充分条件但不是必要条件是x，则实数a的取值范围是()AaBaCa或aDa或a解析：选B|xa|1a1xa1，由题意可得即a6a为素数_a为奇数的充分条件(填是或不是)解析：由于a2时不成立，所以a为素数不是a为奇数的充分条件答案：不是7若“x2ax20”是“x1”的必要条件，则a_解析：由题意知x1是方程的根，所以12a20，所以a3答案：38命题“已知nZ，若a4n，则a是偶数”中，“a是偶数”
13、是“a4n”的_条件，“a4n”是“a是偶数”的_条件(用“充分”“必要”填空)解析：命题“已知nZ，若a4n，则a是偶数”是真命题，所以“a是偶数”是“a4n”的必要条件，“a4n”是“a是偶数”的充分条件答案：必要充分9已知集合A，Bx|xm21若“xA”是“xB”的充分条件，求实数m的取值范围解：yx2x1，因为x，所以y2所以A由xm21，得x1m2，所以Bx|x1m2，因为“xA”是“xB”的充分条件，所以AB，所以1m2，解得m或m，故实数m的取值范围是10分别判断下列“若p，则q”的命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由(1)若，则sin sin ；(2)若m2，则方
14、程x2mx10有实数根解：(1)由于 sin sin ，sin sin ，由逆否命题的真假性相同，得sin sin ，sin sin ，所以不是sin sin 的充分条件，是sin sin 的必要条件(2)由方程x2mx10有实数根，得m240m2或m2由于m20方程x2mx10有实数根，而反推不成立，所以m2是方程x2mx10有实数根的充分条件，m2不是方程x2mx10有实数根的必要条件B能力提升11已知等比数列an的公比为q，则下列不是an为递增数列的充分条件的是()a1a2；a10，q1；a10，0q1；a10，0q1ABCD解析：选B由等比数列1，1，1，知不是等比数列an递增的充分条
15、件，排除C；显然是等比数列an递增的充分条件，排除A；当a10，0q1时，等比数列an递增，排除D故选B12如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的_条件(填“充分”“必要”)解析：因为该命题的否命题为真命题，所以BA又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，因为它的逆否命题是假命题，所以原命题也为假命题，故A B，即A是B的必要条件答案：必要13已知集合Px|x28x200，集合Sx|x1|m(1)是否存在实数m，使xP是xS的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由(2)是否存在实数m，使xP是xS的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，
16、说明理由解：(1)由题意，xP是xS的充分条件，则PS由x28x200，解得2x10，所以P2，10由|x1|m得1mx1m，所以S1m，1m要使PS，则所以所以m9，所以实数m的取值范围是m|m9(2)由题意xP是xS的必要条件，则SP由|x1|m，可得1mxm1，要使SP，则所以m3所以实数m的取值范围是m|m314(选做题)设函数f(x)x22x3，g(x)x2x(1)解不等式|f(x)g(x)|2 017；(2)若|f(x)a|2恒成立的充分条件是1x2，求实数a的取值范围解：(1)由|f(x)g(x)|2 017得|x3|2 017，即|x3|2 017，所以x32 017或x32 017，解得x2 020或x2 014.故不等式的解集为x|x2 014或x2 020(2)依题意知：当1x2时，|f(x)a|2恒成立，所以当1x2时，2f(x)a2恒成立，即f(x)2af(x)2恒成立由于当1x2时，f(x)x22x3(x1)22的最大值为3，最小值为2，因此32a22，即1a4，所以实数a的取值范围是(1，4)
