1、随堂巩固训练(61) 1. 设Sn是等差数列an的前n项和，若a27，S77，则a7的值为13.解析：设等差数列an的公差为d，因为a27，S77，所以解得所以a7a16d116413. 2. 数列an的首项为3，数列bn为等差数列，且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，则a83.解析：设bn的公差为d，因为b10b37d14，所以d2.因为b32，所以b1b32d6，所以b1b2b77b1d7(6)2120.又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a830，所以a83. 3. 已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和S927.解析：由题意
2、知数列an是以1为首项，为公差的等差数列，所以S99127. 4. 在等差数列an中，a9a126，则数列an的前11项和S11132.解析：方法一：由a18d(a111d)6，得a15d12.又S1111a1d11a155d11(a15d)132.方法二：由a9a126，得2a9a1212.由等差数列的性质得a6a12a1212，即a612，所以S11132. 5. 已知数列an满足an1an，且a15，设an的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的n的值为7或8.解析：由题意可知数列an是首项为5，公差为的等差数列，所以an5(n1)，所以该数列的前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是
3、负数项，所以当Sn取得最大值时，n7或n8. 6. 已知等差数列an满足a23，SnSn351(n3)，Sn100，则n的值为10.解析：由SnSn351，得an2an1an51，所以an117.又a23，所以Sn100，解得n10. 7. 设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|130.解析：由an2n10(nN*)知an是以8为首项，2为公差的等差数列.又由an2n100，得n5，所以当n5时，an0，当n5时，an0，所以|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130. 8. 设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对
4、任意非零自然数n都有，则的值为.解析：因为an，bn为等差数列，所以. 因为，所以. 9. 数列an满足a11，a2，an(an1an1)2an1an1(n2)，则a2 016.解析：由an(an1an1)2an1an1(n2)得(n2).又a11，a2，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n，即an，所以a2 016. 10. 设等差数列an的前n项和为Sn.若Sk18，Sk0，Sk110，则正整数k9.解析：由等差数列an的性质得数列为等差数列，所以，即0，解得k9.11. 若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1) 求证：数列是等差数列；(2)
5、求数列an的通项公式.解析：(1) 当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2.又2，故是首项为2，公差为2的等差数列. (2) 由(1)可得2n，所以Sn.当n2时，anSnSn1；当n1时，a1不适合上式，故an12. 已知数列an满足2an1anan2k(nN*，kR)，且a12，a3a54.(1) 若k0，求数列an的前n项和Sn；(2) 若a41，求数列an的通项公式.解析：(1) 当k0时，2an1anan2，即an2an1an1an，所以数列an是等差数列. 设数列an的公差为d，则解得所以Sn2nn2n. (2) 由题意得2a4a3a5k，即24k，所以k
6、2.当n1时，2a2a1a32，当n2时，2a3a2a42，所以a42a3a223a22a161，所以a23.由2an1anan22，得(an2an1)(an1an)2，所以数列an1an是以a2a11为首项，2为公差的等差数列，所以an1an2n3.当n2时，anan12(n1)3，an1an22(n2)3，an2an32(n3)3，a3a2223，a2a1213，叠加得ana1212(n1)3(n1)，所以an23(n1)2n24n1. 又当n1时，a12也适合上式，所以ann24n1，nN*. 13. 设数列an的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Snam，则称数列an是“H数列”.(1) 若数列an的前n项和Sn2n(nN*)，证明：数列an是“H数列”；(2) 设数列an是等差数列，其首项a11，公差d0，若数列an是“H数列”，求d的值.解析：(1) 当n1时，a1S12；当n2时，anSnSn12n2n12n1，所以an所以对任意的nN*，Sn2n是数列an的第n1项，即总存在mn1，使得Snam，所以数列an是“H数列”. (2) 由题意得an1(n1)d，Snnd.若数列an是“H数列”，则存在kN*，使得nd1(k1)d，即k1.又N，kN*，则Z对一切正整数n都成立，所以d1.
