1、 9.6双曲线A组基础题组 1.(2017杭州调研)过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.433B.23C.6D.43答案D由题意知,双曲线x2-y23=1的渐近线方程为y=3x,将x=c=2代入得y=23,即A,B两点的坐标分别为(2,23),(2,-23),所以|AB|=43.2.(2017浙江台州4月调研卷)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的一条渐近线方程是y=33x,则双曲线的离心率为()A.33B.63C.32D.233答案D双曲线x2a2-y2=1的渐近线方程为y=xa,所以1a=33,解得a=3,所以离心率
2、e=(3)2+13=233,故选D. 3.过双曲线M:x2-y2b2=1(b0)的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线的两渐近线分别交于B,C,且AB=BC,则双曲线的离心率是()A.10B.5C.103D.152答案A易知A点坐标为(-1,0),直线AB:y=x+1,渐近线方程为y=bx,由y=x+1,y=-bx得B点的横坐标为-1b+1,同理,得C点的横坐标为1b-1.又AB=BC,B为AC的中点,即2-1b+1=-1+1b-1,b=3,e=ca=1+b2a2=10.故选A.4.(2017课标全国,5,5分)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点
3、A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.13B.12C.23D.32答案D本题考查双曲线的几何性质.易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.PFx轴,P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),|AP|=1,APPF,SAPF=1231=32.故选D.5.(2016课标全国理,5,5分)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是() A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案A原方程表示双曲线,且焦距为4,m2+n0,3m2-n0,m2+n+3m2-n=4,或m2+n0,3m2-n0,b0)的左、右焦点分
4、别是F1,F2,过F1的直线l与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B.若|AF2|=|BF2|,且|AB|=2b,则双曲线C的离心率是()A.2B.52C.3D.5答案D易知|AF1|=|AF2|-2a,|BF1|=|BF2|+2a,所以|AB|=|BF1|-|AF1|=4a=2b,所以b=2a,所以e=ca=c2a2=a2+b2a2=5.故选D.8.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2=()A.1+22B.4-22C.5-22D.3+22答案C如图,因
5、为|AF1|-|AF2|=2a,而|AF1|=|AB|,所以|BF2|=2a,所以|BF1|=4a,又因为ABF1=4,所以在BF1F2中,由余弦定理的推论可知(2a)2+(4a)2-(2c)222a4a=22,化简可得e2=5-22.9.(2017名校协作体联考)点P是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)左支上的一点,右焦点为F(c,0),若M为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为c8,则双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,8B.1,43C.43,53D.(2,3答案B由题意,设P(x,y),x-a,Mx+c2,y2,(x+c)24+y24=c264,即x2+2cx+c2+b2
6、a2x2-b2=c216cax+a2=116c2,x-a,cax+a-c+a,cax+a2(-c+a)2116c2(-c+a)214cc-ae=ca43,10,b0),则有ba=2,2a=2,所以a=1,b=2,所以双曲线的方程为x2-y22=1.同理可得,当双曲线的实轴在y轴上时,双曲线的方程为y2-x212=1,即y2-2x2=1.12.双曲线x2-y2b2=1(b0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点.(1)若l的倾斜角为2,F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设b=3,若l的斜率存在,且(F1A+F1B)AB=0,求l的斜率. 解析(1)设
7、A(xA,yA).由题意得,F2(c,0),c=1+b2,yA2=b2(c2-1)=b4,因为F1AB是等边三角形,所以2c=3|yA|,即4(1+b2)=3b4,解得b2=2.故双曲线的渐近线方程为y=2x.(2)由已知得,F1(-2,0),F2(2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=k(x-2).显然k0.由x2-y23=1,y=k(x-2),得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.因为l与双曲线交于两点,所以k2-30,且=36(1+k2)0.设AB的中点为M(xM,yM).由(F1A+F1B)AB=0,即F1MAB=0,知F1MAB,故kF1Mk=-1.而x
8、M=x1+x22=2k2k2-3,yM=k(xM-2)=6kk2-3,kF1M=3k2k2-3,所以3k2k2-3k=-1,得k2=35,故l的斜率为155.B组提升题组1.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上存在一点P,满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围是() A.1,52B.1,72C.52,+D.72,+答案C由已知条件得,|OP|2=2ab,又P为双曲线上一点,从而|OP|a,2aba2,2ba,又c2=a2+b2a2+a24=54a2,e=ca52.2.(2018浙江,2,4分)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是()
9、A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)答案B本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.a2=3,b2=1,c=a2+b2=2.又焦点在x轴上,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).3.(2017台州中学月考)过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A,若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.x24-y212=1B.x27-y29=1C.x28-y28=1D.x212-y24=1答案A由题意得,c=r=4,a2+b2=16,而双曲线的
10、渐近线方程为y=bax,故不妨令A(a,b),(a-4)2+b2=16,联立,可得a=2,b=23,双曲线的标准方程是x24-y212=1,故选A.4.(2016温州十校高三上期初)如图,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,且满足AFBF,设ABF=,且12,6,则该双曲线离心率e的取值范围为() A.3,2+3B.2,1+3C.2,2+3D.3,1+3答案B设左焦点为F,令|AF|=r1,|AF|=r2,则|BF|=|AF|=r2,所以r2-r1=2a,因为点A关于原点O的对称点为B,AFBF,所以|OA|=|OB|=|OF
11、|=c,所以r22+r12=4c2,所以r1r2=2(c2-a2),因为SABF=2SAOF,所以12r1r2=212c2sin 2,即r1r2=2c2sin 2,所以c2sin 2=c2-a2,所以e2=11-sin2,因为12,6,所以sin 212,32,所以e2=11-sin22,(3+1)2,所以e2,3+1,故选B.5.设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.答案52解析由x-3y+m=0,y=bax得Aam3b-a,bm3b-a,由x-3y+m=0,y=-
12、bax得B-am3b+a,bm3b+a,则线段AB的中点为Ma2m9b2-a2,3b2m9b2-a2.由题意得PMAB,kPM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=54,e=52.6.(2018嘉兴测试)已知中心在原点的双曲线C的右焦点的坐标为(2,0),实轴长为23.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C的左支交于A,B两点,求k的取值范围;(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,m),求m的取值范围.解析(1)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).由已知得,a=3,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1,双曲线
13、C的方程为x23-y2=1.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),将y=kx+2代入x23-y2=1,得(1-3k2)x2-62kx-9=0.由题意知,1-3k20,=36(1-k2)0,xA+xB=62k1-3k20,解得33k1.当33k1时,l与双曲线左支有两个交点.(3)由(2)得,xA+xB=62k1-3k2,yA+yB=(kxA+2)+(kxB+2)=k(xA+xB)+22=221-3k2.AB的中点P的坐标为32k1-3k2,21-3k2.设直线l0的方程为y=-1kx+m,将P点坐标代入直线l0的方程,得m=421-3k2.33k1,-21-3k20,m-22.m的取值范围为(-,-22).
