1、第2课时等差数列的性质及应用课后篇巩固提升基础巩固1.在等差数列an中,a1+a3+a5=,则cos a3=()A.32B.22C.-12D.12解析因为an是等差数列,所以a1+a3+a5=(a1+a5)+a3=3a3=,所以a3=3,故cos a3=cos3=12.答案D2.设数列an,bn都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则由an+bn所组成的数列的第37项的值为()A.0B.37C.100D.-37解析设cn=an+bn,cn也是等差数列,设其公差为d,则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100.故d=c2-c1=0.故cn=100(nN
2、*).从而c37=100.答案C3.已知数列ann是等差数列,且a3=2,a15=30,则a9等于()A.12B.24C.16D.32解析令bn=ann,由题意可知b3=a33=23,b15=a1515=2,则等差数列bn的公差d=b15-b315-3=19,则b9=b3+(9-3)d=43,所以a9=9b9=12,故选A.答案A4.已知等差数列an满足am-1+am+1-am2-1=0,且m1,则a1+a2m-1=()A.10B.9C.3D.2解析由等差数列的性质知,am-1+am+1=2am,则2am-am2-1=0,即(am-1)2=0,解得am=1.所以a1+a2m-1=2am=2,故
3、选D.答案D5.我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗中有如下问题:“今有白米一百八十石,令三人从上及和减率分之,只云甲多丙米三十六石,问:各该若干?”其意思为:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人来分,他们分得的白米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米?”请问甲应该分得白米为()A.96石B.78石C.60石D.42石解析依题意,设甲、乙、丙分得的米重量分别为a1,a2,a3,则a1+a2+a3=3a2=180,且a1-a3=-2d=36,解得a2=60,d=-18,所以a1=a2-d=60+18=78,故选B.答案B6.在等差数列an中,a3,a8是方程x2-3
4、x-5=0的两个根,则a1+a10=.解析依题意,得a3+a8=3,所以a1+a10=a3+a8=3.答案37.已知等差数列an共有10项,其奇数项之和为10,偶数项之和为30,则公差是.答案48.在等差数列an中,已知a1+2a8+a15=96,则2a9-a10=.解析a1+2a8+a15=4a8=96,a8=24.2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.答案249.在等差数列an中,已知am=n,an=m,m,nN*,则am+n的值为.解析设等差数列的公差为d,则d=am-anm-n=n-mm-n=-1,从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n(-1)=0.答案010.在等差
5、数列an中,(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.解(方法一)(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,a13=12.(2)由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17,解a2a5=52,a2+a5=17,得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.d=a5-a25-2=13-43=3或d=a5-a25-2=4-133=-3.(方法二)(1)直接化成a1和d的方程如下:(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+
6、12d)=48,4a13=48,a13=12.(2)直接化成a1和d的方程如下:(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=34,(a1+d)(a1+4d)=52,解得a1=1,d=3或a1=16,d=-3.d=3或-3.能力提升1.在等差数列an中,若a13=3,a2+a42=21,则a19=()A.11B.10C.9D.8解析因为a13+a2+a42=a13+a17+a27=a17+a19+a21=3a19=24,所以a19=8.答案D2.已知等差数列an,a2=2,a4=8,若abn=3n-1,则b2 017=()A.2 016B.2 017C.2 018D.0解析由a
7、2=2,a4=8,得数列an的公差d=8-22=3,所以an=2+(n-2)3=3n-4,所以an+1=3n-1.又数列an的公差不为0,所以数列an为单调数列,所以结合abn=3n-1,可得bn=n+1,故b2 017=2 018.故选C.答案C3.设等差数列an的公差为d.若数列2a1an为递减数列,则()A.d0B.d0D.a1dbn+1,即2a1an2a1an+1.y=2x是单调增函数,a1ana1an+1,a1an-a1(an+d)0,a1(an-an-d)0,即a1(-d)0,a1d0.答案D4.已知ABC的一个内角为120,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC的面积为.解析不妨设角A=120,c1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.bn是以4为首项,4为公差的等差数列.bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.
