1、第四节基本不等式及其应用1.(2019河北保定统考)已知x0,y0,且x+2y=2,则xy() A.有最大值1B.有最小值1C.有最大值12D.有最小值12答案C因为x0,y0,x+2y=2,所以x+2y2x2y,即222xy,xy12,当且仅当x=2y,即x=1,y=12时,等号成立.所以xy有最大值,且最大值为12.2.“x0”是“x+1x2”成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案Cx0时,x+1x2x1x=2当且仅当x=1x时,等号成立;因为x,1x同号,所以若x+1x2,则x0,1x0,所以“x0”是“x+1x2”成立的充要条件,故选
2、C.3.已知a0,b0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是()A.3 B.4C.5 D.6答案B由题意知ab=1,m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,m+n=2(a+b)4ab=4,当且仅当a=b=1时取等号,故m+n的最小值为4.故选B.4.设x0,则函数y=x+22x+1-32的最小值为()A.0 B.12C.1 D.32答案Ax0,y=x+22x+1-32=x+12+1x+12-22x+121x+12-2=0,当且仅当x+12=1x+12,即x=12时等号成立,所以函数的最小值为0.故选A.5.设a0,若关于x的不等式x+ax-15在(1,+)上恒
3、成立,则a的最小值为()A.16B.9 C.4 D.2答案C在(1,+)上,x+ax-1=(x-1)+ax-1+12(x-1)a(x-1)+1=2a+1(当且仅当x=1+a时取等号),由题意知2a+15.所以2a4,a2,a4.6.(2019河北石家庄模拟)若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值为()A.43B.53C.54D.2答案D30=4x2+9y2+3xy236x2y2+3xy,即3015xy,所以xy2,当且仅当4x2=9y2,即x=3,y=233时等号成立.故xy的最大值为2.7.若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y4m2-3m有解,则实数m的
4、取值范围是()A.(-1,4)B.(-,-1)(4,+)C.(-4,1)D.(-,0)(3,+)答案B不等式x+y4m2-3m有解,x+y4min0,y0,且1x+4y=1,x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+224xyy4x+2=4,当且仅当4xy=y4x,即x=2,y=8时取“=”,x+y4min=4,故m2-3m4,即(m+1)(m-4)0,解得m4,实数m的取值范围是(-,-1)(4,+).故选B.8.已知正实数a,b满足1a+2b=3,则(a+1)(b+2)的最小值是()A.253B.509C.7D.6答案B正实数a,b满足1a+2b=3,3=1a+2b22ab,当且仅当a
5、=23,b=43时取等号,ab89.1a+2b=3,2a+b=3ab.(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+2489+2=509,(a+1)(b+2)的最小值是509,故选B.9.当3x12时,函数y=(x-3)(12-x)x的最大值为.答案3解析3x0,b0,则1a+2b22ab=22ab,当且仅当1a=2b,即b=2a时,“=”成立.因为1a+2b=ab,所以ab22ab,即ab22,所以ab的最小值为22.11.(2019福建厦门一模)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离成正比,如
6、果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最少,仓库应建在离车站千米处.答案5解析设仓库与车站的距离为x千米,由已知得y1=20x,y2=0.8x,费用之和y=y1+y2=20x+0.8x20.8x20x=8,当且仅当0.8x=20x,即x=5时“=”成立.12.平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,BAD=120,P是平形四边形ABCD内一点,且AP=1,若AP=xAB+yAD,则3x+2y的最大值为.答案2解析|AP|2=(xAB+yAD)2=9x2+4y2+2xy32-12=(3x+2y)2-3(3x)(2y)(3x+2y)2-34
7、(3x+2y)2=14(3x+2y)2.而|AP|2=1,因此14(3x+2y)21,故3x+2y2,当且仅当3x=2y,即x=13,y=12时取等号.13.已知x0,y0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.解析(1)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1.因为x0,y0,所以1=8x+2y28x2y=8xy,所以xy64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立, 所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1,则x+y=8x+2y(x+y)=10+2xy+8yx10+22xy8yx=18,当且仅当x=12,y=6时,等号成立,所以x+y的最小值为18.
