1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.2余弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用(难点)2掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点)1.通过余弦定理的推导提升逻辑推理素养2通过余弦定理在解三角形中的应用提升数学运算素养.1余弦定理阅读教材P49P50例4以上部分，完成下列问题语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号表示a2b2c22bccos_A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C推论cos A；cos B；cos C作用实现三角形边与角
2、的互化.思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？提示余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？提示已知两边及其夹角，解三角形；已知三边，解三角形2余弦定理的推导如图，设a，b，c那么cab|c|2cc(ab)(ab)aabb2aba2b22ab cos C所以c2a2b22abcos_C同理可证：a2b2c22bccos A，b2c2a22accos B，1在ABC中，符合余弦定理的是()Ac2a2b22abcos CBc2a2b22bccos ACb2a2c22bccos ADcos CA由余弦定
3、理知选A2在ABC中，若已知a2，b3，c，则cos A_.cos A.3在ABC中，已知A60，b2，c1，则a_.a2b2c22bccos A412213，所以a.已知两边及一角解三角形【例1】(1)已知ABC中，cos A，a4，b3，则c_.(2)在ABC中，已知a3，c2，B150，则边b的长为_(1)5(2)7(1)A为b，c的夹角，由余弦定理a2b2c22bccos A，得169c26c，整理得5c218c350.解得c5或c(舍去)(2)在ABC中，由余弦定理得：b2a2c22accos B(3)22223249.所以b7. (1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法先由正弦
4、定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长(2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角提醒解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便. 1(1)在ABC中，边a，b的长是方程x25x20的两个根，C60，则c_.(2)在ABC中，已知
5、A120，a7，bc8，求b，c(1)由题意，得ab5，ab2.所以c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)23ab523219，所以c.(2)解由余弦定理，得a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)，所以49642bc，即bc15，由解得或已知三边(三边关系)解三角形【例2】(1)在ABC中，若abc12，求A，B，C(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC,2ba，求cos A解(1)由于abc12，可设ax，bx，c2x.由余弦定理的推论，得cos A，故A30.同理可求得cos B，cos C0，所以B60，C90.(2)由BC,2b
6、a，可得cba所以cos A. 已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角2(1)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(ac)(ac)b(bc)，则A()A90B60C120D150(2)在ABC中，已知BC7，AC8，AB9，试求AC边上的中线长(1)C由(ac)(ac)b(bc)可得a2c2b2bc，即a2c2b2bc根据余弦定理得cos A，因为A为ABC的内角，所以A120.故选C(2)
7、解由余弦定理的推论得：cos A，设中线长为x，由余弦定理知：x22AB22ABcos A429224949，则x7.所以，所求中线长为7.三角形形状的判断探究问题1在ABC中，sin Asin B，能够判定ABC为等腰三角形吗？提示能由正弦定理和sin Asin B知ab，故ABC是等腰三角形2在ABC中，sin 2Asin 2B，能够判定ABC为等腰三角形吗？提示不能由sin 2Asin 2B得2A2B或2A2B，即AB或AB，故ABC是等腰三角形或直角三角形3在ABC中，acos Abcos B，要判定三角形的形状，是把acos Abcos B中的边化为角，还是把角化为边？提示都可以，化
8、角为边：由余弦定理得ab，化简得(ab)(ab)(c2a2b2)0，故ab或c2a2b2，所以ABC是等腰三角形或直角三角形化边为角：由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，故2A2B或2A2B，则AB或AB，所以ABC是等腰三角形或直角三角形4判断三角形形状的基本思路是什么？提示思路一：从角的关系判定思路二：从边的关系判定思路三：从边与角的关系判定【例3】在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin Bsin C，确定ABC的形状解法一：由正弦定理得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，所以
9、，即c2b2c2a2，所以a2b2，所以ab又因为(abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab，所以4b2c23b2，即b2c2.所以bc，所以abc所以ABC为等边三角形法二：因为ABC180，所以sin Csin(AB)，又因为2cos Asin Bsin C，所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin(AB)0.又因为A与B均为ABC的内角，所以AB又由(abc)(abc)3ab得(ab)2c23ab，所以a2b2c22ab3ab，即a2b2c2ab由余弦定理，得cos C，又0C180，所以C60.所以ABC为等边三角形1(变条件)把例3的条
10、件换为：b2ccos A，c2bcos A，判断ABC的形状解法一：由条件b2ccos A，c2bcos A得cos A，即bc，把bc代入b2ccos A得cos A，所以A60，所以ABC是等边三角形法二：由正弦定理知sin B2sin Ccos A，sin C2sin Bcos A，即sin(AC)2sin Ccos Asin Acos Ccos Asin C，即sin Ccos Asin Acos C，所以sin(AC)0，AC，同理可得AB，所以三角形ABC为等边三角形2(变条件)把例3的条件换为：cos2，试判断ABC的形状解法一：cos2且cos2，即cos A.由正弦定理，得c
11、os A，cos Asin Csin(AC)，整理得sin Acos C0.sin A0，cos C0，C.故ABC为直角三角形法二：同法一得cos A.由余弦定理得，整理得a2b2c2，故ABC为直角三角形 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形(2)
12、若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解2判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC是锐角三角形()(3)在ABC中，若已知abc12，可以解三角形()答案(1)(2)(3)提示(1)错误，如已知a，b和A，可利用公式
13、a2b2c22bccos A求c，进而可求角B和C(2)错误，由b2c2a2和cos A可得cos A0，则A是锐角，但角B或C可能是钝角，ABC未必是锐角三角形(3)错误，已知ABC三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形2若ABC的三边满足abc2，则ABC的形状为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形A设a2k，bk，ck，则cos A0，故A是锐角，且ABC，所以ABC是锐角三角形3在ABC中，b2a2c2ab，则角C_.由b2a2c2ab得，即cos C，又C(0，)，故C.4已知ABC的边长满足等式1时，求A解由1，得b2c2a2bc，所以cos A，又0A，所以A.- 10 - 版权所有高考资源网
