1、第一节 空间几何体及其表面积、体积 A 组 基础题组 1.如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得,现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是()A.B.C.D.答案 D 圆锥的轴截面为等腰三角形,此时符合条件;当截面不过旋转轴时,圆锥的轴截面为双曲线的一支,此时符合条件.故截面图形可能是.2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 1,点 M 在线段 BC 上(点 M 异于 B,C 两点),点 N 为线段 CC1 的中点,若平面 AMN 截正方体 ABCD-A1B1C1D1 所得的截面为四边形,则线段 BM的取值范围为()A.(B.
2、(C.)D.答案 B 由题意知,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,如图所示,当点 M 为线段 BC 的中点时,截面为四边形 AMND1,当 0 时,截面为五边形,故选 B.3.(2018 广东深圳摸底)过半径为 2 的球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的体积的比值为()A.B.C.D.答案 A 由题意知所得截面为圆,设该圆的半径为 r,则 22=()+r2,所以 r2=3,所以所得截面的面积与球的体积的比值为 =,故选 A.4.若将半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则该圆锥的体积为()A.R3 B.R3 C.R3 D.R3 答案 A 设该圆锥的底面半径
3、为 r,则 2r=R,r=,h=.因此 V=r2h=R3.故选 A.5.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,DAB=60,E 为 AB 的中点,将ADE 与BEC 分别沿 ED,EC 向上折起,使 A,B 重合于点 P,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为()A.B.C.D.答案 C 易证所得三棱锥为正四面体,它的棱长为 1,则正四面体所在正方体的棱长为 ,故外接球半径为 ,外接球的体积为 ()=.故选 C.6.在如图所示的斜截圆柱中,斜截圆柱的侧面面积 S=()A.2 600 cm2 B.5 200 cm2 C.2 600 cm2 D.5 200 cm2 解析 几何体的 50
4、 cm 到 80 cm 处的截去的部分的面积和余下的面积相等,将几何体侧面展开,上部分面积为 40 cm2,下部分的面积为 5040 cm2,由此可知,斜截圆柱的侧面面积S=5040+40=2 600 cm2,故选 C.7.在底面直径和高均为 a 的圆锥内作一内接圆柱,则该内接圆柱的侧面积最大为()A.a2 B.C.D.答案 B 如图,作出圆锥的轴截面,设内接圆柱的高为 h,底面半径为 r(),则根据三角形相似,可得 =-,则 h=a-2r,内接圆柱的侧面积 S=2r(a-2r)=-4(-)+,当且仅当 r=时,侧面积有最大值 .故选 B.8.已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形,则该圆锥
5、的侧面积为 .答案 2 解析 圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形,则该圆锥的底面圆半径 r=1,母线长 l=2;它的侧面积=rl=2.9.已知正四棱锥 V-ABCD 中,底面面积为 16,一条侧棱的长为 2 ,则该棱锥的高为 .答案 6 解析 如图,取正方形 ABCD 的中心 O,连接 VO、AO,则 VO 就是正四棱锥 V-ABCD 的高.因为底面面积为 16,所以 AO=2.因为一条侧棱长为 2 ,所以 VO=-=-=6.所以正四棱锥 V-ABCD 的高为 6.10.如图,在矩形 ABCD 中,E 为边 AD 的中点,AB=1,BC=2,分别以 A、D 为圆心,1 为半径作圆弧 、.由两
6、圆弧 、及边 BC 所围成的平面图形绕直线 AD 旋转一周,则所形成的几何体的体积为 .答案 解析 图中阴影部分绕 AD 旋转一周所形成的几何体为圆柱去掉两个半径为 1 的半球,两个半球的体积为 2 =.圆柱的底面半径为 1,高为 2,圆柱的体积为 2=2,该几何体的体积为 2-=.11.三棱锥 P-ABC 中,ABC 为等边三角形,PA=PB=PC=3,PAPB,三棱锥 P-ABC 的外接球的体积为 .答案 解析 三棱锥 P-ABC 中,ABC 为等边三角形,PA=PB=PC=3,PABPBCPAC.PAPB,PAPC,PCPB.以 PA,PB,PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)
7、,则正方体的外接球同时也是三棱锥 P-ABC 的外接球.正方体的体对角线长为 =3,其外接球半径 R=.因此三棱锥 P-ABC 的外接球的体积 V=()=.B 组 提升题组 1.(2019 山东潍坊模拟)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全一样的正四棱柱分成三组,经 90榫卯起来.若正四棱柱的高为 5,底面正方形的边长为 1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为(容器壁的厚度忽略不计)()A.28 B.30 C.60 D.120 答案 B 由题意,该球形容器的半径的最小值为 =
8、,该球形容器的表面积的最小值为 4()=30.故选 B.2.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 3,点 E,F 在线段 AB 上,点 M 在线段 B1C1 上,点 N 在线段 C1D1 上,且 EF=1,D1N=x,AE=y,M 是 B1C1 的中点,则四面体 MNEF 的体积()A.与 x 有关,与 y 无关 B.与 x 无关,与 y 无关 C.与 x 无关,与 y 有关 D.与 x 有关,与 y 有关 答案 B 连接 MB,则 MB 即 M 点到 AB 的距离,又 EF=1,故 SMEF 为定值,又 C1D1AB,则由线面平行的判定定理易得 C1D1平面 MEF,又由
9、N 是棱 C1D1 上的点,故 N 点到平面 MEF 的距离也为定值,即四面体 MNEF 的底面积和高均为定值.故四面体 MNEF 的体积为定值,与 x 无关,与 y 无关.故选 B.3.如图,在四边形 ABCD 中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形 ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积及体积.解析 如图,过 C 作 CEAD,交 AD 所在直线于 E.由已知得 CE=2,DE=2,CB=5,四边形 ABCD 绕直线 AD 旋转一周所得几何体是一个圆台挖去一个圆锥所剩余的部分,S 表=S 圆台侧+S 圆台下底面+S 圆锥侧=(2+5)5+
10、25+22=(60+4),V=V 圆台-V 圆锥=(22+52+)4-222=.4.下图是一个以 A1B1C1 为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为面 ABC,已知A1B1=B1C1=2,A1B1C1=90,AA1=4,BB1=3,CC1=2,求:(1)该几何体的体积;(2)截面 ABC 的面积.解析(1)过 C 作平行于底面 A1B1C1 的截面 A2B2C,分别交 AA1,BB1 于点 A2,B2.由直三棱柱的性质及A1B1C1=90得 V=-+-=222+(1+2)22=6.(2)由已知易得 A1C1=2.在ABC 中,AB=-=,BC=-=,AC=-=2,则 SABC=2 -=.
