1、第2课时等差数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等差中项的概念及其应用2掌握等差数列的项与序号的性质(重点)3理解等差数列的项的对称性(重点)4能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题(难点)1.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的素养2通过学习等差中项的概念提升数学运算的素养.1等差数列的单调性与图像阅读教材P13“练习1”以下“例5”以上部分，完成下列问题(1)等差数列的图像由andn(a1d)，可知其图像是直线ydx(a1d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像由anf(n)a1(n1)ddn(a1d)，可知其图像是直线ydx
2、(a1d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d0时，an为递增数列，如图(甲)所示当d0时，an为递减数列，如图(乙)所示当d0时，an为常数列，如图(丙)所示 甲 乙丙思考：(1)等差数列an中，a34，a42，则数列an是递增数列，还是递减数列？提示因为公差da4a320，所以数列an是递减数列(2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？提示等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率2等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项思考：(1)若A是a与b的等差中项，如何用a
3、和b表示A?提示A.(2)若数列an中，an是an1和an1的等差中项，那么数列an是等差数列吗？为什么？提示是因为an是an1和an1的等差中项，所以an1，an，an1成等差数列，故anan1an1an，由等差数列的定义知数列an是等差数列1等差数列a1，a2，a3，an的公差为d，则数列5a1,5a2,5a3，5an是()A公差为d的等差数列B公差为5d的等差数列C非等差数列D以上都不对B由等差数列的定义知anan1d，所以5an5an15(anan1)5d，故选B2等差数列an中，a23，a718，则公差为()A3BC3DAa7a25d，即5d15，d3.31和1的等差中项为_.4等差
4、数列an中，a31，则a2a3a4_.3a2a3a4(a2a4)a32a3a33a33.等差数列的性质【例1】(1)已知等差数列an中，a2a6a101，求a4a8；(2)设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值解(1)法一：(通项公式法)根据等差数列的通项公式，得a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d.由题意知，3a115d1，即a15d.a4a82a110d2(a15d).法二：(等差数列性质法)根据等差数列性质a2a10a4a82a6.由a2a6a101，得3a61，解得a6，a4a82a6.(2)an是公差为正数
5、的等差数列，设公差为d(d0)，a1a32a2，a1a2a3153a2，a25，又a1a2a380，a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)，a12a210d35，a11a12a133a12105.等差数列性质的应用解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列an的性质：若mnpq2，则amanapaq2a(m，n，p，q，都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想1在公差为d的等差数列an中(1)已知a2a3a23a2448，求a13；(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求d.解法一：(1)化成a1和
6、d的方程如下：(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48，即4(a112d)48.4a1348.a1312.(2)化成a1和d的方程组如下：解得或d3或3.法二：(1)由等差数列性质知a2a24a3a23，又a2a3a23a2448，a3a23242a13，a1312.(2)由等差数列性质知，a2a5a3a4，又a2a3a4a534，a2a517.又a2a552，或d3或d3.等差中项及其应用【例2】已知a，b，c成等差数列，求证：bc，ca，ab也成等差数列证明因为a，b，c成等差数列，所以2bac，所以(bc)(ab)a2bca(ac)c2(ac)，所以bc，ca，ab成等差数
7、列判断一个数列是等差数列的方法(1)定义法：anan1d(常数)(n2且nN)an是等差数列(2)通项法：anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列(3)等差中项法：2anan1an1(n2且nN)an是等差数列2已知，成等差数列，求证：，也成等差数列证明因为，成等差数列，所以，即2acb(ac)因为，所以，成等差数列等差数列性质的综合应用探究问题1若数列an是公差为d的等差数列，am和an分别是数列的第m项和第n项，怎样用am，an表示公差d？在等差数列中，d的几何意义是什么？提示d，d的几何意义是等差数列所在图像的斜率2等差数列an中，若mnp，是否有amanap成立？提示amana1
8、(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d，apa1(p1)da1(mn1)d，amanap.3若数列an是公差为d的等差数列，则数列anb(，b是常数)是等差数列吗？若是，公差是多少？提示(an1b)(anb)(an1an)d(与n无关的常数)，故anb为等差数列，公差为d.【例3】在等差数列an中，a3a4a584，a973，求数列an的通项公式思路探究：法一：由条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d，可得an；法二：利用等差数列的性质求d，利用anam(nm)d，求an.解法一(方程组法)：由a3a4a584，a973，得解得d9，a11，故an19(n1)9n8.法二(等差数列性质
9、法)：因为a3a4a53a4，a3a4a584，故3a484，得a428，又a9a45d45，解得d9.所以ana4(n4)d289(n4)9n8.1(变条件)在例3中，若条件“a3a4a584”改为“a2a4a6a8a10100”，其余不变，求an.解因为a2a10a4a82a6，故5a6100，a620，又a973，故a9a6533d，故d.所以ana6(n6)d20(n6)n86.2(变结论)例3的条件不变，若数列bn是等差数列，其公差为3，那么数列2an3bn是等差数列吗？若是，求出其公差解(2an13bn1)(2an3bn)2(an1an)3(bn1bn)293327，所以数列2an
10、3bn是等差数列，其公差为27.等差数列的性质若数列an是公差为d的等差数列，则有下列性质：(1)在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq.(2)若给出等差数列的第m项am和第n项an(nm)，则anam(nm)d或d.(3)an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即a1ana2an1aiani1.(4)若数列an为等差数列，则数列anb(，b是常数)是公差为d的等差数列(5)若数列an为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项ak，akm，ak2m，(k，mN)组成公差为md的等差数列(6)若数列an与bn均为等差数列，则AanB
11、bn(A，B是常数)也是等差数列1等差数列an的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d的正负有关特别地，如果已知等差数列an的任意两项an，am，由anam(nm)d，类比直线方程的斜率公式，得d(mn)2在等差数列an中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列3在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的()(2
12、)等差数列an中，a3a4a2a5.()(3)任何两个数都有等差中项()答案(1)(2)(3)提示(1)不正确，当公差d0时，其图像的连线平行于x轴；(2)(3)正确2已知在等差数列an中，a1a2a1030，则a5a6()A3B6C9D36B因为数列an是等差数列，所以a1a2a105(a5a6)30，所以a5a66.3在等差数列an中，若a4和a10的等差中项是3，又a22，则an_.n因为a4a102a7，故a73，又a22，所以d，ana2(n2)d2(n2)n.4已知三个数成等差数列且是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数解依题意，设这三个数为ad，a，ad(d0)，则(ad)a(ad)3a18，(ad)2a2(ad)23a22d2116，由得a6，d2.所以所求三个数为4,6,8.