1、2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课时过关能力提升基础巩固1设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+4m(m2),则点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段解析:因为m2,所以m+4m2m4m=4,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.答案:A2椭圆x225+y2=1上的一个点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为()A.5B.6C.7D.8解析:a2=25,a=5,2a=10.设P到另一个焦点的距离为d,由椭圆的定义知,d+2=2a=10,故d=8.答案:D3如果方程x2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那
2、么实数a的取值范围是()A.a3B.a3或a3或-6ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1PF2.若PF1F2的面积为9,则b=.解析:依题意,有|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|PF2|=18,|PF1|2+|PF2|2=4c2,解得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故b=3.答案:38已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点52,-32,求它的标准方程.解:椭圆的焦点在x轴上,可设标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).2a=52+22+-322+52-22+-322=210,a=10,a2=10.c=2,c2=4,b2=a2-c2=6.故椭圆
3、方程为x210+y26=1.9已知两圆C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,动圆P与C1外切,与C2内切,求圆心P的轨迹.解:两圆半径分别是3和13,设动圆半径为r,由题意得|PC1|=3+r,|PC2|=13-r,消去r,得|PC1|+|PC2|=16,即点P到两定点C1,C2的距离之和为定值16.又16|C1C2|=8,所以点P的轨迹是椭圆.设其方程为x2a2+y2b2=1(ab0),依题意有2a=16,2c=8,所以a=8,c=4,所以b2=a2-c2=48,故圆心P的轨迹方程为x264+y248=1.能力提升1已知两椭圆ax2+y2=8与9x2+25y2=10
4、0的焦距相等,则a的值为()A.9或917B.34或32C.9或34D.917或32解析:椭圆9x2+25y2=100的标准方程为x21009+y24=1,焦点在x轴上,且c2=1009-4=649,c=83.又椭圆ax2+y2=8的标准方程为x28a+y28=1,8a-8=649或8-8a=649,解得a=917或a=9.答案:A2已知椭圆x24+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且MF1MF2=0,则点M到x轴的距离为()A.233B.263C.33D.3答案:C3若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为()A.2B.3
5、C.6D.8解析:由题意,得F(-1,0),设点P(x0,y0),则y02=31-x024,OPFP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+y02=x02+x0+31-x024=14(x0+2)2+2,当x0=2时,OPFP取得最大值为6.答案:C4已知F1,F2是椭圆x224+y249=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|PF2|=43,则PF1F2的面积等于 ()A.24B.26C.222D.242解析:因为a2=49,a=7,所以|PF1|+|PF2|=2a=14.又因为|PF1|PF2|=43,所以|PF1|=8,|PF2|=6.又因为|F1F2|=2c=249-24=10,所
6、以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1PF2.故PF1F2的面积S=12|PF1|PF2|=1286=24.答案:A5已知F1,F2为椭圆x225+y29=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=_.解析:由椭圆的定义,知|F2A|+|F1A|+|F2B|+|F1B|=4a=20,则|F1A|+|F1B|=|AB|=20-12=8.答案:86已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的标准方程是.解析:由题意,得2|F1F2|=|PF1|+|P
7、F2|,所以4c=2a.因为c=1,所以a=2,b2=a2-c2=3.故椭圆的标准方程为x24+y23=1.答案:x24+y23=17F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,M,N分别为其短轴的两个端点,且四边形MF1NF2的周长为4,设过F1的直线l与椭圆相交于A,B两点,且|AB|=43,则|AF2|BF2|的最大值为.答案:1698求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点A63,3和B223,1的椭圆;(2)过点(-3,2),且与x29+y24=1有相同焦点的椭圆.解:(1)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).椭圆过点A63,3和B223,
8、1,m632+n(3)2=1,m2232+n12=1,解得m=1,n=19.所求椭圆的标准方程为x2+y29=1.(2)已知椭圆x29+y24=1中a=3,b=2,且焦点在x轴上,c2=9-4=5.设所求椭圆方程为x2a2+y2a2-5=1.点(-3,2)在所求椭圆上,9a2+4a2-5=1.a2=15.所求椭圆方程为x215+y210=1.9已知点M在椭圆x236+y29=1上,MP垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P,并且M为线段PP的中点,求点P的轨迹方程.解:设P(x,y),点M坐标为(x0,y0).点M在椭圆x236+y29=1上,x0236+y029=1.M是线段PP的中点,x0=x,y0=y2.把x0=x,y0=y2代入x0236+y029=1,得x236+y236=1,即x2+y2=36.故点P的轨迹方程为x2+y2=36.
