1、本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 1.3.1 推出与充分条件、必要条件(一)【学习要求】1结合具体实例，理解充分条件、必要条件及充要条件的意义2能准确判断各类命题中的充分性、必要性、充要性【学法指导】从命题的真假、推出关系、集合间的包含关系多角度理解充分条件、必要条件，使思维活动更加严谨.本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 填一填知识要点、记下疑难点 1命题的条件和结论：“如果 p，则(那么)q”形式的命题，_称为命题的条件，_称为命题的结论2充分条件与必要条件命题真假“若 p,则 q”是真命题“若 p，则 q”是假命题推出关系p_qp_q条件关系p 是 q 的_条件q 是 p 的_
2、条件p 不是 q 的_条件q 不是 p 的_条件pq充分必要充分必要本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 填一填知识要点、记下疑难点 3.充要条件一般地，如果_，且_，则称 p 是 q 的充分且必要条件，简称 p 是 q 的充要条件，记作_显然，q 也是 p的充要条件p 是 q 的充要条件，又常说成_或_pqqppqq 当且仅当 pp 与 q 等价本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 填一填知识要点、记下疑难点 1命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类(1)充分不必要条件，即_(2)必要不充分条件，即_(3)既充分又必要条件，即_(4)既不充分又不必要条件，即_pq，而 qp/pq，而
3、 qp/pq，又有 qppq，又有 qp/本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 填一填知识要点、记下疑难点 2用集合的观点理解充分、必要条件二者的关系可用下表说明：若集合 PQ，则 p 是 q 的若集合 QP，则 p 是 q 的_若集合 P Q，则 p 是 q 的_若集合 Q P，则 p 是 q 的_若集合 QP，则 p 是 q 的_ 若集合 P Q 且 QP，则 p 是 q 的_充分条件必要条件充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研问题探究、课堂更高效 探究点一 充分条件、必要条件问题 1 判断下列两个命题的真假，并思考命
4、题(1)中条件和结论之间的关系：(1)若 xa2b2，则 x2ab；(2)若 ab0，则 a0.答案(1)为真命题，(2)为假命题命题(1)中，有 xa2b2，必有 x2ab 即 xa2b2x2ab，所以“xa2b2”是“x2ab”的充分条件，“x2ab”是“xa2b2”的必要条件本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研问题探究、课堂更高效 问题 2 判断命题“若 x1，则 x24x30”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释答案“x1”是“x24x30”的充分条件，“x24x30”是“x1”的必要条件两个条件“x1”和“x24x30”都是变量的取值，和集合有关将“x1”对应集合记
5、作 A，“x24x30”对应集合记作 B.显然 A B.本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研问题探究、课堂更高效 例 1 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)(1)p：(x2)(x3)0，q：x2；(2)p：数 a 能被 6 整除，q：数 a 能被 3 整除；(3)p：x1，q：x21.本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研问题探究、课堂更高效 解(1)因为命题“若(x2)(x3)0，则 x2”是假命题，而命题“若 x2，则(x2)(x3)0”是真命题，所以 p 是 q的必要条件，但不是充
6、分条件，即 p 是 q 的必要不充分条件；(2)pq，而 qp，p 是 q 的充分不必要条件(3)p 对应的集合为 Px|x1，q 对应的集合为 Qx|x1，P Q，p 是 q 的充分不必要条件小结 本例三个小题分别体现了定义法、集合法、等价法一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题/本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 指出下列命题中，p 是 q 的什么条件：(1)p：x22x1，q：x 2x1；(2)p：a2b20，q：ab0；(3)p：x1 或 x2，q：x1 x1；(4)p：sin sin，
7、q：.解(1)x22x1x 2x1，x 2x1x22x1，p 是 q 的必要不充分条件(2)a2b20ab0ab0，ab0a2b20，p 是 q 的充分不必要条件/本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研问题探究、课堂更高效(3)当 x1 或 x2 成立时，可得 x1 x1成立，反过来，当 x1 x1成立时，可以推出 x1 或 x2，p 既是 q 的充分条件也是 q 的必要条件(4)由 sin sin 不能推出，反过来由 也不能推出sin sin,p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研问题探究、课堂更高效 探究点二 充要条件问题
8、已知 p：整数 a 是 6 的倍数，q：整数 a 是 2 和 3 的倍数，那么 p 是 q 的什么条件？q 又是 p 的什么条件？答案 pq，且 qp，p 是 q 的充分条件也是必要条件；同理，q 是 p 的充分条件也是必要条件结论：一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq.此时，我们说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研问题探究、课堂更高效 例 2 下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件：(1)p：b0，q：函数 f(x)ax2bxc 是偶函数；(2)p：x0，y0，q：xy0；(3)p：ab，q：acbc.解 在(1)(3)中，
9、pq，所以(1)(3)中 p 是 q 的充要条件在(2)中，qp，所以(2)中的 p 不是 q 的充要条件小结 判断 p 是 q 的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法/本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研问题探究、课堂更高效 例 3 是否存在实数 p，使“4xp0”的充分条件？如果存在，求出 p 的取值范围；否则，说明理由解 由 x2x20，解得 x2 或 x2 或 x1，由 4xp0，得 Bx|xp4由题意得 BA，即p41，即 p4，此时 x0，当 p4 时，“4xp0”的充分条件本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研问题探究、课堂更高效 跟
10、踪训练 3 已知 p：3xm0，若 p 是 q的一个充分不必要条件，求 m 的取值范围解 由 3xm0 得，xm3.p：Ax|x0 得，x3.q：Bx|x3pq 而 qp，A B，m31，m3，即 m 的取值范围是3，)./本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 题型二 充分条件、必要条件与充要条件的应用例 2 设命题 p：2x23x10，命题 q：x2(2a1)xa(a1)0，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围解 设 Ax|2x23x10 x|12x1，Bx|x2(2a1)xa(a1)0 x|axa1，p 是 q 的充分不必要条件，A B.a12，a11，或a12a11
11、，解得 0a12.研一研题型解法、解题更高效 本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 跟踪训练 2 已知条件 p：Ax|x2(a1)xa0，条件 q：Bx|x23x20，当 a 为何值时，(1)p 是 q 的充分不必要条件；(2)p 是 q 的必要不充分条件；(3)p 是 q 的充要条件解 由 p：Ax|(x1)(xa)0，由 q：B1,2(1)p 是 q 的充分不必要条件，AB 且 AB，当 A1时，a1；当 A1，a时，1a2，故 1a2a2.(3)p 是 q 的充要条件，ABa2.研一研题型解法、解题更高效 本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 题型三 充要条件的证明例 3 已知数列a
12、n的前 n 项和 Snpnq(p0 且 p1)，求证：数列an为等比数列的充要条件为 q1.分析 充分性：由 q1 推出an是等比数列，必要性：由an是等比数列推出 q1.证明 充分性：当 q1 时，a1p1，当 n2 时，anSnSn1pn1(p1)，当 n1 时也成立研一研题型解法、解题更高效 本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 p0 且 p1，于是an1an pnp1pn1p1p，即数列an为等比数列必要性：当 n1 时，a1S1pq.当 n2 时，anSnSn1pn1(p1)p0 且 p1，an1an pnp1pn1p1p.an为等比数列，a2a1p.pp1pq p，q1.综上，数
13、列an为等比数列的充要条件为 q1.研一研题型解法、解题更高效 本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 跟踪训练 3 求证：方程 x2(2k1)xk20 的两个根均大于1 的充要条件是 k0 x11x210k14x1x220 x1x2x1x210即k142k120k22k110，解得 k2.研一研题型解法、解题更高效 本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 充分性：当 k0.设方程 x2(2k1)xk20 的两个根为 x1，x2.则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10，x110，x210.x11，x21.综
14、上可知，方程 x2(2k1)xk20 有两个大于 1 的根的充要条件为 k2.研一研题型解法、解题更高效 本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 LOREM IPSUM DOLOR Lorem ipsum dolor sit amet,consectetur adipisicing elit,sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et doloremagna aliqua.Ut enim ad minim veniam,quis nostrudexercitationullamcolaborisnisiutaliquipexeacommodo c
15、onsequat.LOREM IPSUM DOLOR Lorem ipsum dolor sit amet,consectetur adipisicing elit,sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et doloremagna aliqua.Ut enim ad minim veniam,quis nostrudexercitationullamcolaborisnisiutaliquipexeacommodo consequat.练一练当堂检测、目标达成落实处 1a0，b0 的一个必要条件为()Aab0Cab1 Dab1A解析 ab0a0
16、，b0，而 a0，b0aba2c2，q：ABC 为钝角三角形；(2)p：ABC 中有两个角相等，q：ABC 是正三角形；(3)若 a，bR，p：a2b20，q：ab0.解(1)ABC 中，b2a2c2，cos Ba2c2b22ac0，B 为钝角，即ABC 为钝角三角形，反之若ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时 b2a2c2.pq，qp，故 p 是 q 的充分不必要条件/本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 练一练当堂检测、目标达成落实处(2)有两个角相等不一定是正三角形，反之一定成立，pq，qp，故 p 是 q 的必要不充分条件(3)若 a2b20，则 ab0，即 pq，若 ab0，
17、则a2b20，即 qp，所以 p 是 q 的充要条件/本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 练一练当堂检测、目标达成落实处 4若“x0”的充分不必要条件，求 m的取值范围解 由(x1)(x2)0 可得 x2 或 x1，由已知条件，知x|x2 或 x1m1.本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练 练一练当堂检测、目标达成落实处 1充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断(2)等价法：“pq”表示 p 等价于 q，等价命题可以进行转换，当我们要证明 p 成立时，就可以去证明 q 成立(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件 p 和结论 q相应的集合分别为 A 和 B，那么若 AB，则 p 是 q 的充分条件；若 AB，则 p 是 q 的必要条件；若 AB，则 p是 q 的充要条件2根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.本专题栏目开关 填一填 研一研 练一练
