1、2020年北京二模几何综合1已知：是经过点A的一条直线，点C是直线左侧的一个动点，且满足，连接，将线段绕点C顺时针旋转60，得到线段，在直线上取一点B，使（1）若点C位置如图1所示依据题意补全图1；求证：；（2）连接，写出一个的值，使得对于任意一点C，总有，并证明【答案】（1）图见解析；证明见解析；（2）时，对于任意一点C，总有；证明见解析【分析】（1）在AC右侧作等边三角形ACD，即可得线段，在作的外接圆交直线MN与B，连接DB即可补全图形；根据四边形内角和等于360结合，即可得出，由同角的补角相等即可证明结论；（2）连接，在直线上截取，连接，可得，进而是等边三角形，即得【详解】解：（1）
2、补全图形，如图：证明：在四边形中，（2）时，对于任意一点C，总有证明：连接，在直线上截取，连接，是等边三角形【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键2已知菱形中，点为边上一个动点（不与点重合），点在边上，且，将线段绕着点逆时针旋转120得线段，连接（1）依题意补全图形；（2）求证：为等边三角形（3）用等式表示线段的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析【分析】（1）根据题目要求完成图形即可；（2）先证明为等边三角形，再证明，得到，证明，可证得为等边三角形；（
3、3）取FG中点为H，连接DH，证明，根据为等边三角形，证明B，D，G共线，得，转化可得【详解】（1）解：补全图形，如图（2）证明：菱形，又，为等边三角形，在和中，,，为等边三角形（3）的数量关系为证明：如图2，取中点，连接，又为等边三角形，即三点在同一条直线上，【点睛】熟练使用菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的证明，锐角三角形函数的使用是解题的关键3在中，点D是外一点，点D与点C在直线的异侧，且点不共线，连接（1）如图1，当时，画出图形，直接写出之间的数量关系；（2）当时，利用图2，继续探究之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3
4、）当时，进一步探究之间的数量关系，并用含的等式直接表示出它们之间的关系【答案】（1）图形见解析，之间的数量关系是；（2）；（3）【分析】（1）画出图形即可证得ABC是等边三角形，以BD为边向外作等边BDE，利用SAS可证明ABECBD故AE=CD，运用勾股定理即可的出答案；（2）过点A作，且，利用勾股定理可得，利用SAS可证明，可得运用勾股定理在中，即可得出答案；（3）以BD为底边构造等腰BDE，使 ，连接AE，CD，过点A作AHBC于点H，由两边成比例和它们的夹角相等可判定ABCEBD，故ABC=ACB=EBD=EDB，可得ADE=90由BEDBAC可得：，进而证明EBADBC，可得 有三角
5、函数可得推出，利用勾股定理，将AE、DE代入 即可得出答案【详解】解：（1） ，AB=ACABC=ACB=BAC=60ABC是等边三角形以BD为边向外作等边BDE连接AE，CDABC，BDE都是等边三角形BA=BC=AC，BD=BE=DEABC=DBE=60ABC+ABD=DBE+ABDCBD=ABE在ABE和CBD中 ABECBD（SAS）AE=CDADB=30，BDE=60ADE=ADB+BDE=90在RtADE中 即 故答案为：（2）如图，过点A作，且，连接可得，又，在中， （3）以BD为底边构造等腰BDE使 ，连接AE，CD过点A作AHBC于点HAB=AC，BE=DE，BAC=BED=
6、 ABCEBDABC=ACB=EBD=EDB= = ADE=ADB+EDB=90BEDBAC EBD+ABD=ABC+ABDEBA=DBC EBADBC AB=AC，AHBC 同理 在RtADE中 即故答案为：【点睛】本题考查了三角函数，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，难度系数较大，准确画出图形，运用好三角函数，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识点是解体的关键4点C为线段上一点，以为斜边作等腰，连接，在外侧，以为斜边作等腰，连接（1）如图1，当时：求证：；判断线段与的数量关系，并证明；（2）如图2，当时，与的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实
7、验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段垂线，交延长线于点G，连接；通过证明解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段垂线，垂足为点G，连接通过证明解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作垂线段，连接，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题请你参考上面的想法，证明（一种方法即可）【答案】（1）证明见解析；，证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）如图（见解析），先根据直角三角形的性质得出，再根据等腰三角形的三线合一得出是斜边AC上的中线，然后根据直角三角形的性质，最后根据等量代换即可得证；先结合的结论、等腰直角三角
8、形的性质，再根据角的和差、直角三角形的性质得出，然后根据等边三角形的判定与性质得出，由此即可证出；（2）想法1：先根据等腰三角形的性质、角的和差得出，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证；想法2：先根据等腰直角三角形的性质、角的和差得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得平分，然后根据等腰三角形的三线合一可得是的垂直平分线，最后根据垂直平分线的性质、等量代换即可得证；想法3：先根据垂直的定义、等腰直角三角形的定义得出，从而可得，由此可证出D、F、B、E四点共圆，再根据圆周角定理可得，然后同想法
9、2的方法即可得证【详解】（1）过点D作于F是等腰三角形是斜边AC上的中线（等腰三角形的三线合一）；，证明如下：等腰与等腰中，是等边三角形；（2）想法1：如图，过点D作线段垂线，交延长线于点G，连接是等腰直角三角形，即是等腰直角三角形，即在和中，是直角三角形点E是BG的中点，即CE是斜边BG上的中线；想法2：如图，过点D作线段垂线，垂足为点G，连接是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，即是等腰直角三角形，即在和中，平分是等腰直角三角形是的垂直平分线（等腰三角形的三线合一）即；想法3：如图，过点D作垂线段，连接是等腰直角三角形，D、F、B、E四点共圆同想法2可证：是的垂直平分线即【点睛】本题是一道较
10、难的综合题，综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题关键5如图，在中，将绕点顺时针旋转45，得到，点关于直线的对称点为，连接交直线于点，连接（1）根据题意补全图形；（2）判断的形状，并证明；（3）连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路解法1的主要思路：延长至点，使，连接，可证，再证是等腰直角三角形解法2的主要思路：过点作于点，可证是等腰直角三角形，再证解法3的主要思路：过点作于点，过点作于点，设，用
11、含或的式子表示，【答案】（1）见解析（2）是等腰直角三角形； 证明见解析（3）；证明见解析【分析】(1)根据题目意思补全图形即可；(2)根据旋转的性质得到，再根据点与关于直线对称得到，即可证明是等腰直角三角形；(3)解法一：延长至点，使，连接，可证，再证是等腰直角三角形，进而得到答案解法二：过点作于点，可证是等腰直角三角形，再证进而得到答案解法三：过点作于点，过点作于点，设，用含或的式子表示，进而得到答案【详解】（1）正确补全图形：（2）是等腰直角三角形； 证明：将绕点顺时针旋转45，点与关于直线对称，是等腰直角三角形（3）； 解法1证明：延长至点，使，连接，是等腰直角三角形，即是等腰直角三角
12、形 即 解法2证明：过点作于点，取中点，连接，设，在中，即 ，.又 解法3证明：过点作于点，过作于点，即，同解法2，可证 设，【点睛】本题主要考查了旋转的综合、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，灵活运用所学知识是解题的关键6如图，在正方形中，点分别是上的两个动点(不与点重合)，且，延长到，使，连接（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点运动过程中，始终有经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接，证明是等腰直角三角形；想法二：过点作的垂线，交的延长线于，可得是等腰直角三角形，证明；请参考以上想法，帮助小华证
13、明(写出一种方法即可)【答案】（1）图见解析；（2）想法一的证明见解析；想法二的证明见解析【分析】（1）先分别在上取点，使得，再延长到，使，然后连接即可；（2）想法一：先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据角的和差、等量代换可得，从而可得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得，最后根据垂线平分线的判定与性质可得，由此即可得证；想法二：先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，从而可得是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质得出，由此即可得证【详解】（1）先分别在上取点，使得，再延长到，使，然后连接，补全图形如
14、下所示：（2）想法一：如图，连接四边形ABCD是正方形在和中，即是等腰直角三角形又是线段FG的垂直平分线；想法二：如图，过点作的垂线，交的延长线于，连接HF四边形ABCD是正方形在和中，是等腰直角三角形，即，即在和中，【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键7如图，在中，延长使，线段绕点C顺时针旋转90得到线段，连结（1）依据题意补全图形；（2）当时，的度数是_；（3）小聪通过画图、测量发现，当是一定度数时，小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，
15、如果把梯形补全成为正方形，就易证，因此易得当是特殊值时，问题得证；想法2：要证，通过第（2）问，可知只需要证明是等边三角形，通过构造平行四边形，易证，通过，易证，从而解决问题；想法3：通过，连结，易证，易得是等腰三角形，因此当是特殊值时，问题得证请你参考上面的想法，帮助小聪证明当是一定度数时，（一种方法即可）【答案】（1）详见解析；（2）60；（3）当时结论成立，详见解析【分析】(1)根据题意补全图形即可得到答案；(2)先算出，再根据旋转的性质得到，再相减即可得到答案；(3) 证明想法一，过A作于E，先证明四边形是正方形，得到，再证明即可得到答案；【详解】解：（1）补全图形（2）当时，,线段绕
16、点C顺时针旋转90得到线段， ,，故答案为：60；（3）当时结论成立证明：想法一：过A作于E四边形是正方形 ，（ASA），当时，是等边三角形 ；【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定 ，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键8如图1，等边三角形中，D为边上一点，满足，连接，以点A为中心，将射线顺时针旋转60，与的外角平分线交于点E（1）依题意补全图1；（2）求证：；（3）若点B关于直线的对称点为F，连接求证：；若成立，直接写出的度数为_【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析； 20【分析】（1）根据题意，射线顺时针旋转
17、60，用尺规作图法，做出DAE = C = 60，再连接DE，即完成作图；（2）在等边三角形ABC中,由可得出；由射线绕点A顺时针旋转60得到射线，可得DAE =，进而得出；由平分ABC的外角可得，进而推出，由此可证（ASA），再根据三角形全等的性质易证；（3）连接，设，根据点B与点F关于直线对称的性质可得，；由易得；在等边三角形中， 由，易证，又因为，再根据三角形AFC的内角和定理，可推出，和前面的证明联立可得，所以同旁内角互补，.通过图中各个三角形的内角和之间的关系，设BAD=，通过证明CFA=COF推论出，即可计算出BAD=20.【详解】（1）依题意补全图形（2）证明：是等边三角形，射线
18、绕点A顺时针旋转60得到射线，平分， （3）证明：连接，设，点B与点F关于直线对称，等边三角形中， ，且， 由 知 ，EAF=F=DAF = ，由知BE=CDBD=CFCFA=COF3=60=20【点睛】本题主要考查了图形旋转的作图，利用三角形全等证明线段相等知识.综合性较强，难度较大.9已知：在ABC中，ABC=90，AB=BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE（1）依题意补全图形； （2）AE与DF的位置关系是 ； （3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D 在运动变化的过程
19、中，DAF的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想DAF= ，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A作AGCF于点G，构造正方形ABCG，然后可证AFGAFE想法2：过点B作BGAF，交直线FC于点G，构造ABGF，然后可证AFEBGC请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）【答案】（1）详见解析；（2）互相垂直；（3）45，证明详见解析【分析】（1）根据题意正确画图；（2）证明ABDAED（SSS），可得AED=B=90，从而得结论；（3）想法1：如图2，过点A做AGCF于点G，先证明四边形ABCG是正方形，得AG=AB，BAG=90
20、，再证明RtAFGRtAFE（HL），得GAF=EAF，根据BAG=90及角的和可得结论；想法2：如图3，过点B作BGAF，交直线FC于点G，证明四边形ABGF是平行四边形，得AF=BG，BGC=BAF，再证明RtAEFRtBCG （HL），同理根据BCG=90及等量代换，角的和可得结论【详解】（1）补全图形如下：（2）AE与DF的位置关系是：AEDF，理由是：点B关于直线AD的对称点为E，AB=AE，BD=DE，AD=AD，ABDAED（SSS），AED=B=90，AEDF；故答案为：AEDF；（3）猜想DAF=45；想法1：证明如下：如图2，过点A做AGCF于点G，依题意可知：B=BCG=
21、CGA=90，AB=BC，四边形ABCG是正方形，AG=AB，BAG=90，点B关于直线AD的对称点为E，AB=AE，B=AED=AEF=90，BAD=EAD，AG=AE， AF=AF，RtAFGRtAFE（HL），GAF=EAF，BAG=90，BAD+EAD+EAF+GAF=90，EAD+EAF=45即DAF=45想法2：证明如下：如图3，过点B作BGAF，交直线FC于点G，依题意可知：ABC=BCF=90，ABFG，AFBG，四边形ABGF是平行四边形，AF=BG，BGC=BAF，点B关于直线AD的对称点为E，AB=AE，ABC=AED=90，BAD=EAD，AB=BC，AE=BC，RtA
22、EFRtBCG （HL），EAF=CBG，BCG=90，BGC+CBG=90，BAF+EAF=90，BAD+EAD+EAF+EAF=90，BAD=EAD，EAD+EAF=45，即DAF=45故答案为：45【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，正方形和平行四边形的判定和性质，对称的性质，画图的能力，垂直的判定等知识，正确作辅助线，构建三角形全等是关键10已知，M为射线上一定点，P为射线上一动点（不与点O重合），连接，以点P为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接（1）依题意补全图1；（2）求证：；（3）H为射线上一点，连接写出一个的值，使得对于任意的点P总有为定值，并求出此
23、定值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的值为1，110【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）利用即可得出答案；（3）在射线上取一点G，使得，连接，证明，进而得出，从而得出【详解】（1）补全图形，如图所示；（2）证明：根据题意可知，；（3）解：的值为1在射线上取一点G，使得，连接，根据题意可知，在和中，【点睛】本题考查了根据题意作图，旋转的性质，三角形外角的性质的应用，全等三角形的判定，第三问解题的关键是构造全等三角形，得出11在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CEDE），AE，BD交于点F（1）如图1，过点F作GHAE，分别交边AD，BC于点G，H求证：EAB=GHC；（2）A
24、E的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN依题意补全图形；图1备用图用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明【答案】（1）详见解析；（2）补全图形，如图所示详见解析【分析】（1）根据正方形的性质，有ADBC，BAD=90，得到AGH=GHC，再根据GHAE，得到EAB=AGH，即可证明（2）根据垂直平分线的作法步骤进行即可连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q，根据正方形的性质，得到NA=NC，1=2，再根据垂直平分线的性质，得到NA=NE，进而得到NC=NE，3=4，在正方形ABCD中，BACE，BCD=90，得到AQE=4，1+AQE=2+3=90，ANE=AN
25、Q=90，最后在RtANE中，即可求解【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，ADBC，BAD=90，AGH=GHCGHAE，EAB=AGHEAB=GHC（2）补全图形，如图所示证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q四边形ABCD是正方形，点A，点C关于BD对称NA=NC，1=2PN垂直平分AE，NA=NENC=NE3=4在正方形ABCD中，BACE，BCD=90，AQE=41+AQE=2+3=90ANE=ANQ=90在RtANE中，【点睛】此题主要考查正方形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握性质就解题关键12在中，是边上的一点（不与点重合），边上点在点的右边且，点关于直线的
26、对称点为，连接（1）如图1，依题意补全图1；求证：；（2）如图2，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明【答案】（1）依题意补全图形，见解析；见解析；（2）线段之间的数量关系是证明见解析【分析】（1）根据要求画出图形即可解决；：连接，根据对称可求出，即可得出结果；（2）连接，由（1），可得，在中，由勾股定理，得，即可得到结果【详解】（1）依题意补全图形，如图1 证明：连接，如图2，点F与点D关于直线对称，又，（2）线段之间的数量关系是证明：连接，如图3，由（1），可得在中，由勾股定理，得【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合勾股定理的知识点进行求解13如图，在ABC中，BAC=30，A
27、B=AC，将线段AC绕点A逆时针旋转（0180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P（1）当=90时，依题意补全图形；求证：PD=2PB；（2）写出一个的值，使得PD=PB成立，并证明【答案】（1）见解析；见解析；（2）当=60(或120)时，PD=PB，证明见解析【分析】（1）当=90时，依题意即可补全图形；根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD=2PB；（2）当的值为60（或120）度时，根据相似三角形的性质即可证明PD=PB成立【详解】（1）如图 ACAD，ABACABAD，ABDADB又BAC30，BAD90ABDADB30APBP在RtAPD中，ADB30PD2APPD2P
28、B（2）当=60(或120)时，PD=PB 情况：当=60时，过点D作DFAC，垂足为点F，过点B作BEAC，垂足为点E，DFBEDFPBEP在RtABE中，BAC30AC2BE在RtADF中，CAD60ADDF又ADACAB2BEDE，即BEDFPBPD情况：当=120时，过点D作DFAC，交CA的延长线于点F， 过点B作BEAC，垂足为点E，DFBEDFPBEP在RtABE中，BAC30AC2BE在RtADF中，FAD60ADDF又ADACAB2BEDE，即BEDFPBPD【点睛】本题考查了作图-旋转变换、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质14在
29、等腰直角三角形ABC中，P是BC上的一动点（不与B，C重合），射线AP绕点A顺时针旋转，得到射线AQ，过点C作CE垂直AB，交AB与点D，交射线AQ于点E，连接PE（1）依题意补全图形；（2）求的度数；（3）用等式表示线段PE，DE，AC三条线段之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；（2）45；（3），见解析【分析】（1）本题考查题意理解能力，按照题目要求作图即可（2）本题考查等腰直角三角形性质的应用以及相似三角形的证明，需要根据角度计算结合图形性质证角等，证相似，按照边长比例关系确定角度（3）本题考查图形观察能力以及线段等量转化，可根据上一问边长比例关系结论作为本题解答条件，并结合等腰直角三角形性质求解本题【详解】解：(1)补全图形，如图 (2)ABC是等腰直角三角形BAC=45EAP=45EAD=CAP又EDA=ACP=90ADEACP ，D为AB中点EPA=45 (3)由(2)可知，AEP是等腰直角三角形在RtAPC中又，即【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，并结合相似三角形的证明，此类型题目出题顺序往往循序渐进，下一问的证明需要以上一问结论为前提，可以此作为思路指引进行解题
