1、知识储备 1.导数的几何意义？2.判断或证明函数的单调性有几种方法？3.如何利用导数判断函数的单调性?求函数的单调区间的基本步骤是什么？4.若已知函数在某个区间的单调性，求其中参数的取值范围，如何解决？1、理解极值的概念；2、会用导数求可导函数的极大值、极小值；3、以极值为载体求参数的范围.观察分析：如图，函数y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？a b c d e f o g h x y y=f(x)y=f(x)2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其它各点的函数值都大，我们就说f(b)是函数的一个极大值，点b叫做
2、极大值点 函数极值的定义 4)极大值与极小值统称为极值.1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近 其它各点的函数值都小，我们就说f(a)是函数的一个 极小值.点a叫做极小值点 3)极大值点,极小值点统称为极值点.baf(a)f(b)（1）极值是对某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；（3）极大值与极小值没有必然大小关系，极大值可能比极小值还小.（4）极大值点与极小值点一定交替出现。学生活动oa x1x2x3 x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)讨论：观察
3、图像并类比函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?oax0b xyxx0左侧 x0 x0右侧 f(x)f(x)oax0bxyxx0左侧 x0 x0右侧 f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0左正右负为极大，右正左负为极小abxy)(xfy?=Oabxy)(xfy?=O（2006年天津卷)函数的定义域为开区间)(xf导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有（）个极小值点。A.1B.2C.3D.4)(xf),(ba),(ba),(ba)(xfA问题探究探究1：如何求函数的极值 例 1 求函数 f(x)x33x29x5 的极值.解 f(x)3x
4、26x9.解方程 3x26x90，得 x11，x23.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)1022由表可知：当 x1 时，f(x)有极大值 f(1)10.当 x3 时，f(x)有极小值 f(3)22.求可导函数 f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数 f(x)；(2)求方程 f(x)0 的根；(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测 f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值
5、；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值.归纳总结问题探究探究2：利用函数极值确定参数的值 例 2 已知 f(x)x33ax2bxa2在 x1 时有极值 0，求常数 a，b 的值.解 因为 f(x)在 x1 时有极值 0，且 f(x)3x26axb，所以f10，f10，即36ab0，13aba20.解之得a1，b3或a2，b9.当 a1，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20，当 x(3，1)时，f(x)为减函数；当 x(1，)时，f(x)为增函数，所以 f(x)在 x1 时取得极小值，因此 a2，b9.当 a2，b9 时，f(x)3x212x93(x1)(x3).所以 f(
6、x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去.(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为 0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.归纳总结变式训练 1:若函数 f(x)2x36xk 在 R 上只有一个零点，求常数 k 的取值范围.解 f(x)2x36xk，则 f(x)6x26，令 f(x)0，得 x1 或 x1，可知 f(x)在(1,1)上是减函数，f(x)在(，1)和(1，)上为增函数.f(x)的极大值为 f(1)4k，f(x)的极小值为 f(1)4k.要使函数 f(x)只有一
7、个零点，只需 4k0(如图所示)即 k4.k 的取值范围是(，4)(4，).或用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数.归纳总结变式训练 2：函数 f(x)x33ax23(a2)x1有极大值又有极小值，则 a 的取值范围是_【解析】f(x)x33ax23(a2)x1，f(x)3x26ax3(a2)令 3x26ax3(a2)0，即 x22axa20.函数 f(x)有极大值和极小值，方程 x22axa20 有两个不相等的实根即4a24a80，a2 或 a1.1设函数 f(x)xex，则()Ax1
8、为 f(x)的极大值点Bx1 为 f(x)的极小值点Cx1 为 f(x)的极大值点Dx1 为 f(x)的极小值点解析 f(x)(x1)ex，当 x1 时，f(x)1时，f(x)0，所以 x1 为 f(x)的极小值点，故选 D.当堂检测Ax1 是最小值点Bx0 是极小值点Cx2 是极小值点D函数 f(x)在(1,2)上单调递增答案 C解析 由导数图像可知，x0，x2 为两极值点，x0为极大值点，x2 为极小值点，选 C.2函数 f(x)的导函数 f(x)的图像，如下图所示，则()3若函数 yexmx 有极值，则实数 m 的取值范围()Am0 Bm1Dm1答案 B解析 yexm，则 exm0 必有
9、根，mex0，b0，且函数 f(x)4x3ax22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于()A2B3C6D9解析 函数的导数为 f(x)12x22ax2b，由函数 f(x)在 x1 处有极值，可知函数 f(x)在 x1 处的导数值为零，122a2b0，所以 ab6，由题意知 a，b 都是正实数，所以ab(ab2)2(62)29，当且仅当 ab3 时取到等号，故选 D.课堂小结1、极值的概念；2可导函数某点成为极值点需满足的条件。3如何求函数的极值。4解决函数极值中的含参问题。思考与讨论设函数 f(x)x36x5，xR.(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)若关于 x 的方程
10、 f(x)a 有三个不同的实根，求实数 a 的取值范围.解(1)f(x)3x26，令 f(x)0，解得 x1 2，x2 2.因为当 x 2或 x 2时，f(x)0；当 2x 2时，f(x)0.所以 f(x)的单调递增区间为(，2)和(2，)；单调递减区间为(2，2).当 x 2时，f(x)有极大值 54 2；当 x 2时，f(x)有极小值 54 2.(2)由(1)的分析知 yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示.所以，当 54 2a54 2时，直线 ya 与 yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程 f(x)a 有三个不同的实根.变式训练:已知函数 f(x)13x3bx2c(b，c 为常数)当 x2时，函数 f(x)取得极值，若函数 f(x)只有三个零点，则实数 c的取值范围为_【解析】f(x)13x3bx2c，f(x)x22bx.x2 时，f(x)取得极值，222b20，解得 b1.当 x(0,2)时，f(x)单调递减，当 x(，0)或 x(2，)时，f(x)单调递增若 f(x)0 有 3 个实根，则f0c0，f2132322c0，解得 0c43.【答案】0c43课堂小结1、极值的概念；2可导函数某点成为极值点需满足的条件。3如何求函数的极值。4解决函数极值中的含参问题。
