1、2019-2020学年广东省汕尾市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1已知全集UR，集合Mx|2x2+x60与集合Nx|x2k1，kZ的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合中的元素个数为（）A3个B2个C1个D0个2设复数z满足z（12i）1+i，则复数z的共轭复数的虚部为（）AiBiCD3下列命题中正确的是（）A命题“xN，x22x”的否定是“x0N，x022”B若xR且x0，则x+2C已知aR，则a1是1的充分不必要条件D命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”4函数f（x）的定义域为R，且函数f（x）的图象如图所示，则不等式xf（x）0的解集为（）A（1，0）
2、（0，1）B（，）（0，）C（，）（0，1）D（，0）（，+）5（2x）7的展开式中x5的系数为（）A448B448C672D6726为了提高幼儿园孩子认识数字的能力，老师任意选取两个小朋友，让他们每人从1，2，3，4，5，6这六个数字当中任选一个数字（两人所选的数字可以相同），如果所选出的两个数字相差不超过1，则称这两个小朋友“心有灵犀”两个小朋友“心有灵犀”的概率为（）ABCD7已知函数f（x）Acos（x+）（A0，0，0）的图象与直线yA的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x1x2|的最小值为，且将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称，则下列说法不正确
3、的是（）A2B（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心Cx是函数f（x）图象的一条对称轴D函数f（x）在区间（0，）上单调递减8已知曲线C：y，P为曲线C上任意一点，设曲线C在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（）A（0，B，）C（，D，）9已知O为坐标原点，点F是双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，过点F且倾斜角为120的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若POF为正三角形，则双曲线C的离心率为（）A+1BC+1D10已知函数f（x）x2+x+alnx在1，+）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A2，+）B3，+）C2，0）D3，0）二、多选题：本大题共2小题，每小题4分，共8分。在每
4、小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。11设离散型随机变量X的分布列为X1234P0.20.10.2q若离散型随机变量Y满足Y2X+1，则下列结果正确的有（）Aq0.2BE（X）3，D（X）1.4CE（X）2，D（X）1.8DE（Y）7，D（Y）5.612已知函数f（x），则下列说法正确的有（）A函数（x）的图象在点（1，0）处的切线方程是xey10B函数（x）有两个零点Cf（2）f（3）D函数f（x）有极大值，且极大值点x0（1，2）三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13已知函数f（x）x3+x2f（1），则f（1）
5、14已知抛物线x24y上一点M（x1，y1）到其焦点的距离为3，则点M到原点的距离 15中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有算数书九章算术周髀算经孙子算经等，有3名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作（这四种著作每种各一本），要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，则不同的阅读方案的总数有 种（请用数字作答）16已知ABC的内角ABC的对边分别为a，b，c若2sinBsinCcosA1cos2A，则 ；sinA的最大值为 四、解答题：本大题共6小题，第1720题每小题14分，第2122题每小题14分，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知向量
6、（2cosx，1），（2sin（x+），1），函数f（x）（1）求曲线yf（x）的对称轴方程；（2）在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，f（）2，a7，c3，求ABC的面积18已知等比数列an的前n项和是Sn，且S12，a2+1是a1与a3的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn（Sn+2）log2an，求数列bn的前n项和Tn19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，BC1B1CO，B1BC120，A1BC1是边长为2的正三角形，A1B1（1）证明：平面A1BC1平面BCC1B1；（2）求平面A1B1C与平面ABC所成的锐二面角的余弦值
7、20某市教育部门计划从该市的中学生中选出6人作为该市代表去参加省里的中华古诗词大赛，该市经过初赛选拔最后决定从甲、乙两所中学的学生中进行最后的筛选甲中学推荐了3名男生，3名女生，乙中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后所有学生的水平相当，该市决定从参加集训的两校男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成该市的代表队（1）求甲中学至少有1名学生入选该市代表队的概率；（2）在省赛某场比赛前，从该市代表队的6名学生中随机抽取3人参赛，设X表示参赛队员中的女生人数，求X的分布列和数学期望21已知离心率为的椭圆E：+1（ab0）的两个焦点分别为F1、F2过F1的直线交椭圆于
8、A、B两点，且ABF2的周长为8（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过点P（0，m）（m1）作圆O（O为坐标原点）：x2+y21的切线l、直线l交椭圆E于M、N两点，求MNO面积的最大值22已知函数f（x）ax+ex（aR）（1）若对任意的x0，不等式f（x）1恒成立，求实数a的取值范围；（2）讨论函数f（x）零点的个数，参考答案一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集UR，集合Mx|2x2+x60与集合Nx|x2k1，kZ的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合中的元素个数为（）A3个B2个C1个D0个【分析】求
9、出集合M，再由集合Nx|x2k1，kZ，求出阴影部分所示的集合MN，由此能求出阴影部分所示的集合中的元素的个数解：全集UR，集合Mx|2x2+x60x|2x，集合Nx|x2k7，kZ，阴影部分所示的集合中的元素的个数为2故选：B2设复数z满足z（12i）1+i，则复数z的共轭复数的虚部为（）AiBiCD【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的共轭复数得答案解：z（12i）1+i，z，的虚部为故选：D3下列命题中正确的是（）A命题“xN，x22x”的否定是“x0N，x022”B若xR且x0，则x+2C已知aR，则a1是1的充分不必要条件D命题“若p，则q”的否命题是“若p
10、，则q”【分析】利用命题的否定判断A；基本不等式B；充要条件判断C；四种命题的逆否关系判断D；解：命题“xN，x22x”的否定是“x7N，x022”，所以A不正确；若x0，则x+2，恒成立，所以B不正确；命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”，所以D不正确；故选：C4函数f（x）的定义域为R，且函数f（x）的图象如图所示，则不等式xf（x）0的解集为（）A（1，0）（0，1）B（，）（0，）C（，）（0，1）D（，0）（，+）【分析】由图可知函数f（x）的单调区间，从而得f（x）0和f（x）0对应的x的取值范围，而不等式xf（x）0可等价于或，故而得解解：由图可知，f（x）在（，）和（，1
11、）上单调递增，在（，）上单调递减，当x（，）（，1）时，f（x）0；当x（，）时，f（x）0当x0时，有x（，），即x（5，）；当x0时，有x（，）（，1），即x（，），故选：B5（2x）7的展开式中x5的系数为（）A448B448C672D672【分析】求出展开式的通项公式，利用x的次数为5进行求解即可解：展开式的通项公式Tk+1（2x）7k（）k（1）k27kx74k，由72k5得k1，故选：B6为了提高幼儿园孩子认识数字的能力，老师任意选取两个小朋友，让他们每人从1，2，3，4，5，6这六个数字当中任选一个数字（两人所选的数字可以相同），如果所选出的两个数字相差不超过1，则称这两个小朋友
12、“心有灵犀”两个小朋友“心有灵犀”的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n6636，利用列举法求出这两个小朋友“心有灵犀”包含的基本事件有16个，由此能求出两个小朋友“心有灵犀”的概率解：老师任意选取两个小朋友，让他们每人从1，2，3，4，4，6这六个数字当中任选一个数字（两人所选的数字可以相同），所选出的两个数字相差不超过1，则称这两个小朋友“心有灵犀”（1，1），（1，2），（2，5），（2，2），（2，3），（3，4），（3，3），（3，4），两个小朋友“心有灵犀”的概率为p故选：D7已知函数f（x）Acos（x+）（A0，0，0）的图象与直线yA的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，
13、若|x1x2|的最小值为，且将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称，则下列说法不正确的是（）A2B（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心Cx是函数f（x）图象的一条对称轴D函数f（x）在区间（0，）上单调递减【分析】由：|x1x2|的最小值为，可得周期T，进而求得值，判断选项A；由函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称，计算求得值，可得f（x）Acos（2x+），令2x+k+，可求得函数的对称中心，判断选项B；令2x+k，求得函数的对称轴，判断选项C；由x（0，）可得2x+（，），根据余弦函数的图象与性质可判断选项D解：|x1x2|的最小
14、值为，则T，即，得2，故A正确；函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称，0，对称中心为（+，0）（kZ）令2x+k，得x，当k0时，x，故C正确；故选：D8已知曲线C：y，P为曲线C上任意一点，设曲线C在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（）A（0，B，）C（，D，）【分析】本题先对y求导，然后设曲线C上任意一点P坐标为（x0，y0），则曲线C在点P（x0，y0）处的切线斜率为kf（x0）tan，代入xx0，计算出f（x0）的取值范围，即可得到tan的取值范围，从而可得倾斜角的取值范围，得到正确选项解：由题意，可知y8，曲线C在点P（x3，y0）处的切线斜率为kf
15、（x0）tan，当且仅当，即2，即x0ln2时，等号成立，f（x0）0，即tan0，）故选：D9已知O为坐标原点，点F是双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，过点F且倾斜角为120的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若POF为正三角形，则双曲线C的离心率为（）A+1BC+1D【分析】如图所示，过点F且倾斜角为120的直线与双曲线C交于第一象限一点P，POF为正三角形，可得P的坐标，利用双曲线的定义求出2a，然后求解离心率即可解：如图所示：过点F且倾斜角为120的直线与椭圆C交于第一象限一点P，P（，）PF1，PFc，2aPF3PF（）c，故选：C10已知函数f（x）x2+x+alnx在1，+）上
16、单调递增，则实数a的取值范围是（）A2，+）B3，+）C2，0）D3，0）【分析】原问题可等价于f（x）0在1，+）上恒成立，参变分离后有a2x2x，于是构造新函数g（x）2x2x（x1），只需满足ag（x）max即可，然后结合配方法和二次函数的单调性可知g（x）maxg（1），从而得解解：f（x）x2+x+alnx在1，+）上单调递增，f（x）8x+1+0在1，+）上恒成立，即a2x2xg（x）在1，+）上单调递减，a3故选：B二、多选题：本大题共2小题，每小题4分，共8分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。11设离散型随机变
17、量X的分布列为X1234P0.20.10.2q若离散型随机变量Y满足Y2X+1，则下列结果正确的有（）Aq0.2BE（X）3，D（X）1.4CE（X）2，D（X）1.8DE（Y）7，D（Y）5.6【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质求出q0.5，由此能求出E（X），D（X），再由离散型随机变量Y满足Y2X+1，能求出E（Y）和D（Y）解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：q10.20.60.20.5，D（X）（83）20.2+（23）30.1+（33）20.5+（43）22.51.4，E（Y）2E（X）+17，故选：BD12已知函数f（x），则下列说法正确的有（）A函数（x）的图象在点（
18、1，0）处的切线方程是xey10B函数（x）有两个零点Cf（2）f（3）D函数f（x）有极大值，且极大值点x0（1，2）【分析】利用导数求出函数（x）的图象在点（1，0）处的切线方程判定A；令g（x），由单调性及函数零点的判定可得存在x0（1，2），使得g（x0）0，即f（x0）0，从而得到函数f（x）的单调性与极值判定D；由f（x）在区间（x0，+）上单调递减，结合x0（1，2）判断C；由函数零点判定定理得到当x（0，x0）时，f（x）有一个零点，f（x）在（x0，+）上无零点判断B解：由f（x），得f（x），则f（1），函数（x）的图象在点（1，0）处的切线方程是y0，令g（x），则g（x
19、）在（0，+）上是单调递减的，存在x0（1，2），使得g（x7）0，即f（x0）7，函数f（x）有极大值，且极大值点x0（1，2），故D正确；f（2）f（3），故C错误；当x（0，x0）时，f（x）有一个零点，则f（x）在（x0，+）上无零点，即f（x）只有一个零点，故B错误故选：AD三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13已知函数f（x）x3+x2f（1），则f（1）【分析】先对函数求得，进而苛求f（1），可求函数解析式，进而可求解：f（x）x3+x2f（1），f（x）3x2+2xf（1），所以f（x）x33x2，f（1）3故答案为：914已知抛物线x24y上一点M（x1，y1
20、）到其焦点的距离为3，则点M到原点的距离2【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y1，代入抛物线方程即可求得点M的横坐标，利用距离公式求解即可解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y1，根据抛物线定义，解得y12，代入抛物线方程求得x2，故答案为：215中国古典数学有完整的理论体系，其代表作有算数书九章算术周髀算经孙子算经等，有3名中学生计划去图书馆阅读这四种古典数学著作（这四种著作每种各一本），要求每人至少阅读一种古典数学著作，每种古典数学著作只有一人阅读，则不同的阅读方案的总数有36种（请用数
21、字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：先将4本著作分为3组，再将分好的三组全排列，分配给3人，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，分2步进行分析：将4本著作分为3组，有C426种分法，将分好的三组全排列，分配给3人，有A336种情况，则有6636种不同的阅读方案；故选：16已知ABC的内角ABC的对边分别为a，b，c若2sinBsinCcosA1cos2A，则3；sinA的最大值为【分析】由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简已知等式可得3，根据基本不等式可求cosA，结合范围A（0，），利用三角函数的性质即可求解sinA的最大值解：2sinBsinCcosA1cos2A2sin6A，2
22、bccosA2a2b2+c2a2，cosA，当且仅当bc时不等式两边取等号，当cosA取得最小值时，sinA取得最大值，最大值为故答案为：3，四、解答题：本大题共6小题，第1720题每小题14分，第2122题每小题14分，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知向量（2cosx，1），（2sin（x+），1），函数f（x）（1）求曲线yf（x）的对称轴方程；（2）在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，f（）2，a7，c3，求ABC的面积【分析】（1）由已知结合向量数量积的坐标表示及二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的对称性即可求解；（2）由已知可求A
23、，然后结合余弦定理可求b，再结合三角形的面积公式即可求解解：（1）f（x）2cosx.2sin（x+）1，2cosx（sinx+cosx）1，sin2x+cos2x2sin（2x+），即函数的对称轴x，kZ，所以A+可得A，由余弦定理可得，a2，所以ABC的面积S618已知等比数列an的前n项和是Sn，且S12，a2+1是a1与a3的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn（Sn+2）log2an，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）运用等比数列的求和公式，以及对数的运算性质，结合数列的
24、错位相减法求和，计算可得所求和解：（1）等比数列an的公比设为q，S12，即a12，a2+1是a7与a3的等差中项，可得a1+a32（a2+1），则an22n42n，nN*；bn（Sn+2）log4an2n+1log22nn4n+1，2Tn123+244+325+n2n+2，n2n+2，化为Tn（n6）2n+2+419如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，BC1B1CO，B1BC120，A1BC1是边长为2的正三角形，A1B1（1）证明：平面A1BC1平面BCC1B1；（2）求平面A1B1C与平面ABC所成的锐二面角的余弦值【分析】（1）推导出BC1B1C，B1COA1，从
25、而B1C平面A1BC1，由此能证明平面A1BC1平面BCC1B1（2）推导出OA1面BCC1B1，以O为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C与平面ABC所成的锐二面角的余弦值解：（1）证明：侧面BCC1B1是菱形，BC1B1C，四边形BCC1B5是菱形，B1BC120，BC12，A1BC1是边长为2的正三角形，在A1BC1中，OA1，BC1平面A1BC2，OA1平面A1BC1，BC1OA1O，B1C平面BCC2B1，平面A1BC1平面BCC1B1BC1OA8，OA1面A1BC1，OA1面BCC1B5，则B（1，0，0），C（0，
26、4），C1（1，0，8），A1（0，0，），设A（x，y，z），（x，y，z）（1，0），解得，A（1，），设（x，y，z）是平面ABC的一个法向量，平面A1B1C的法向量（1，0，5），则cos，平面A1B1C与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为20某市教育部门计划从该市的中学生中选出6人作为该市代表去参加省里的中华古诗词大赛，该市经过初赛选拔最后决定从甲、乙两所中学的学生中进行最后的筛选甲中学推荐了3名男生，3名女生，乙中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后所有学生的水平相当，该市决定从参加集训的两校男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成该市的代表队（1）
27、求甲中学至少有1名学生入选该市代表队的概率；（2）在省赛某场比赛前，从该市代表队的6名学生中随机抽取3人参赛，设X表示参赛队员中的女生人数，求X的分布列和数学期望【分析】（1）先求出入选 代表队的学生全部来自乙中学的概率，从而得到没有1名甲中学的学生入选代表队的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲中学至少有1名学生入选该市代表队的概率（2）参赛的6名队员中包含男生、女生名3名，从而X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望解：（1）依题意知来自甲、乙两所中学参加集训的学生中共有男生6名，女生7名，则入选 代表队的学生全部来自乙中学的概率为，故甲中
28、学至少有6名学生入选该市代表队的概率为p1故由题意知X的所有可能取值为0，1，2，6，P（X1），P（X3）， X 0 1 2 3 P E（X）21已知离心率为的椭圆E：+1（ab0）的两个焦点分别为F1、F2过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过点P（0，m）（m1）作圆O（O为坐标原点）：x2+y21的切线l、直线l交椭圆E于M、N两点，求MNO面积的最大值【分析】（1）由椭圆的定义和离心率公式、a，b，c的关系，解方程可得a，b，c，进而得到椭圆方程；（2）由直线和圆相切的条件：dr，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结
29、合三角形的面积公式和基本不等式，计算可得所求最大值解：（1）因为ABF1的周长为8，由椭圆的定义可得4a8，即a2，b1，（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），因为直线l与圆x2+y21相切，可得1，即m6k2+1，4k2m24（4+k2）（m64）16k2+6416m22，所以|MN|x1x2|SMNO|MN|11，所以MNO的面积的最大值为122已知函数f（x）ax+ex（aR）（1）若对任意的x0，不等式f（x）1恒成立，求实数a的取值范围；（2）讨论函数f（x）零点的个数，【分析】（1）令g（x）ex+ax1，将对任意的x0，不等式f（x）1恒成立，转化为对任意的x0，不等式g（
30、x）0恒成立，求导，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，结合函数恒成立确定a的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而确定函数的零点个数即可解：（1）f（x）ax+ex，对任意的x0，不等式f（x）1恒成立，令g（x）ex+ax1，对任意的x5，不等式g（x）0恒成立当a1时，g（x）ex+a0，恒成立，g（x）g（0）0，即ex+ax70，故f（x）1成立，满足题意g（x）ex+ax1在0，ln（a）上单调递减，综上，实数a的取值范围为a1当a0时，f（x）ex，f（x）在区间（，+）上没有零点因为f（0）20，f（）1+0，所以存在x1（
31、，7），使得f（x1）0成立，当a5时，令f（x）a+ex0，得xln（a）xln（a）时，f（x）0，f（x）在区间（ln（a），+）上单调递增，当ln（a）10，即ea0时，f（x）min0，f（x）在区间（，+）上没有零点f（x）ex+ex，f（x）e+ex令f（x）0，得x7，f（x）在区间（，1）上单调递减，ln（a）10，即ae时，f（x）min0，f（）a（）+7+0，f（1）a+e0，f（a）a2+ea（a）7+ea（ae），令h（t）t2+et（te），即k（t）2t+et在区间（1，+）上是增函数，h（t）2t+et0，h（t）t5+et在区间1，+）上是增函数，ae时，f（a）（a）2+ea0，存在x3（8，a），f（x3）0成立，即当ae时，f（x）在区间（，+）上有两个零点
