1、第19讲数列中的推理与证明1.(2019泰州中学3月检测,9)已知1=30,n+1=n+15,an=sin n+1,nN*,则a22+a4=.2.(2019淮安五校联考,7)数列an满足an+1=an+a(a为常数且不为0,nN*),若a2,a3,a6成等比数列,则该等比数列的公比是.3.(2018江苏联考)若在x,y两数之间插入3个数,使这5个数成等差数列,其公差为d1(d10),若在x,y两数之间插入4个数,使这6个数也成等差数列,其公差为d2(d20),那么d1d2 =.4.(2019徐州检测,11)设数列an的前n项和为Sn,若Sn=2an+n(nN*),则数列an的通项公式为an=.
2、5.(2018江苏扬州期末)若等差数列an的前n项和为Sn,a2=3,a3+a5=-2,则使得Sn取最大值时的正整数n=.6.(2019盐城期中,13)已知数列an满足2anan+1+an+3an+1+2=0,其中a1=-12,设bn=n-an+1,若b3为数列bn中唯一最小项,则实数的取值范围是.7.(2018江苏苏州高三上学期期中)已知数列an的前n项和是Sn,且满足a1=1,Sn+1=3Sn+1(nN*).(1) 求数列an的通项公式;(2) 在数列bn中,b1=3,bn+1-bn=an+1an(nN*),若不等式an+bnn2对nN*有解,求实数的取值范围.答案精解精析1.答案74解析
3、由1=30,n+1=n+15,得n=30+(n-1)15,所以an=sin n+1=sin(30+15n),所以a2=32,a4=1,所以a22+a4=74.2.答案3解析an+1=an+a,an=a1+(n-1)a,又a2,a3,a6成等比数列,a32=a2a6,(a1+2a)2=(a1+a)(a1+5a),a12+4a1a+4a2=a12+6a1a+5a2,2a1a+a2=0,又a0,a=-2a1,等比数列的公比为a3a2=-3a1-a1=3.3.答案54解析在x,y两数之间插入3个数,使这5个数成等差数列,其公差为d1,则有x+4d1=y,在x,y两数之间插入4个数,使这6个数也成等差数
4、列,其公差为d2,则有x+5d2=y,用-可得4d1=5d2,那么d1d2=54.4.答案1-2n(nN*)解析当n=1时,S1=2a1+1,得a1=-1;当n2时,Sn-1=2an-1+n-1,所以Sn-Sn-1=2an-2an-1+1,即an=2an-2an-1+1,化为an=2an-1-1,即an-1an-1-1=2.所以数列an-1是以-2为首项,2为公比的等比数列,所以an-1=(-2)2n-1,所以an=1-2n(nN*).5.答案3解析设等差数列an的公差为d,则a3+a5=3+d+3+3d=4d+6=-2,d=-2,则an=a2+(n-2)(-2)=-2n+7,前3项是正数项,
5、从第4项开始是负数项,所以使得Sn取最大值时的正整数n=3.6.答案(5,7)解析2anan+1+an+3an+1+2=0,即2(anan+1+1)+an+3an+1=0,即2(an+1)(an+1+1)-an+an+1=0,亦即2(an+1)(an+1+1)-(an+1)+(an+1+1)=0,所以1an+1+1-1an+1=2,又1a1+1=2,所以1an+1是以2为首项,2为公差的等差数列,所以1an+1=2+(n-1)2=2n,故an+1=12n,所以bn=n-an+1=2n2-2n,因为数列bn中有唯一最小项b3,所以52272,故57.7.解析(1)因为Sn+1=3Sn+1(nN*
6、),所以Sn=3Sn-1+1(nN*,n2),所以an+1=3an(nN*,n2).又当n=1时,由S2=3S1+1及a1=1得a2=3,符合a2=3a1,所以an+1=3an(nN*),所以数列an是以1为首项,3为公比的等比数列,所以an=3n-1(nN*).(2)因为bn+1-bn=an+1an=3(nN*),所以bn是以3为首项,3为公差的等差数列,所以bn=3+3(n-1)=3n(nN*).则an+bnn2,即n2-3n3n-1对nN*有解.设f(n)=n2-3n3n-1(nN*).因为f(n+1)-f(n)=(n+1)2-3(n+1)3n-n2-3n3n-1=-2(n2-4n+1)3n,所以当n4时, f(n+1)f(n).当nf(n),所以f(1)f(2)f(3)f(5)f(6),所以f(n)max=f(4)=427,所以427.
