1、 第1节选修44坐标系与参数方程1极坐标系与点的极坐标9(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系图1(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画，这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标其中称为点M的极径，称为点M的极角.2极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式2x2y2 tan (x0)3.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径
2、为r的圆2rcos 圆心为，半径为r的圆2rsin (0)4.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴与此直线的角为，则直线l的极坐标方程是(R)(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为cos a.(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为sin_b(0)5曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.6常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直
3、线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”：(1)若点P的直角坐标为(1，)，则点P的一个极坐标是.( )(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( )(3)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线( )(4)参数方程中的x，y都是参数t的函数( )(5)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆( )答案：(1)(2)(3) (4
4、)(5)小题查验1(教材改编)在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是( )A.B.C(1,0) D(1，)解析：B方法一由2sin ，得22sin ，化成直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为.方法二由2sin 2cos ，知圆心的极坐标为，故选B.2若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为( )A. BC. D解析：D由(t为参数)得直线方程为4x3y100，且斜率为k，令直线l的倾斜角为，则tan ，所以cos .3在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线方程是( )Acos Bsin Ccos 1
5、Dsin 1解析：C由过点(1,0)与x轴垂直的直线方程为x1可知，过点(1,0)且与极轴垂直的直线方程为cos 1，选C.4在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为_.解析：由x2t，且y1t，消去t，得xy1，即xy10.答案：xy105直线(t为参数)与圆(为参数)相切，则切线的倾斜角为_.解析：直线的普通方程为bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有，即3a23b24b2，所以ba，而直线的倾斜角的正切值tan ，所以tan ，因此切线的倾斜角为或.答案：或考点一极坐标与直角坐标的互化(师生共研) 典例在直角坐
6、标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB面积S|OA|BsinAOB4cos 42|cos sin
7、 cos2|222.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.1极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点(2)以x轴的非负半轴为极轴(3)两种坐标系规定相同的长度单位2极坐标与直角坐标互化的策略(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换跟踪训练(2019合肥检测)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos .(1)求出圆C的直角坐标方程；(2)已知圆C与x轴相交
8、于A，B两点，直线l：y2x关于点M(0，m)(m0)对称的直线为l.若直线l上存在点P使得APB90，求实数m的最大值解：(1)由4cos 得24cos ，即x2y24x0，即圆C的标准方程为(x2)2y24.(2)直线l：y2x关于点M(0，m)的对称直线l的方程为y2x2m，而AB为圆C的直径，故直线l上存在点P使得APB90的充要条件是直线l与圆C有公共点，故2，解得2m2，所以实数m的最大值为2.考点二极坐标方程的应用(师生共研)典例 (2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos
9、 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时
10、，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k，经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用跟踪训练(2019全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段O
11、M上时，求P点轨迹的极坐标方程解：(1)因为M(0，0)在C上，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设Q(，)为l上除P的任意一点，在RtOPQ中，cos |OP|2.经检验，点P在曲线cos 2上所以，l的极坐标方程为cos 2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos ，因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ，.考点三参数方程与普通方程的互化(师生共研)典例在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的
12、公共点的坐标解因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.因为曲线C的参数方程为，由y2tan ，得tan ，代入得y22x.解方程组得公共点的坐标为(2,2)，.1将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，以及参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响跟踪训练在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解：(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程
13、为x4y30，由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为 .由题设知，所以a8；当a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22si
14、n 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上所以a1.1(2020太原市质检)已知曲线C1：xy和C2：(为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离. 解：(1)曲线C1化为cos
15、sin .sin.曲线C2化为1.(*)将xcos ，ysin 代入(*)式得cos2sin21，即2(cos23sin2)6.曲线C2的极坐标方程为2.(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的极坐标方程为，把代入sin得11，P.把代入2得22，Q.|PQ|21|1，即P，Q两点间的距离为1.2(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)，1.直线l的参数方程为(t为参数)tan (90)，即tan xy
16、2tan 0，当90时，x1.综上：l：(2)当90，点(1,2)不为中点，不成立当90，把l代入曲线C中得：4x2tan (x1)2216，化简得：(4tan2)x2(4tan 2tan2)xtan24tan 120，点(1,2)为弦的中点，x1x22，即2，tan 2，直线l的斜率k2.3在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：cos 3，曲线C2：4cos (0)(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设点Q在C2上，求动点P的极坐标方程解：(1)联立方程得得cos ，0，cos ，2，所求交点的极坐标为.(2)设P(，)，Q(0，0)且04c
17、os 0，0，由已知OP，得4cos (0，)，故点P的极坐标方程为10cos ，0，)4(2020石家庄模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为22sin 30.(1)求直线l的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.解：(1)由消去t得y2x，把代入y2x，得sin 2cos ，直线l的极坐标方程为sin 2cos .(2)2x2y2，ysin .曲线C的方程可化为x2y22y30，即x2(y1)24，圆C的圆心C(0，1)到直线l的距离d，|AB|2.5(2018全国卷)在
18、平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为，(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解：(1)根据O的参数方程，可得O的直角坐标方程为x2y21，当时，直线l与圆O交于两点当时，tan k设过点(0，)的直线为ykx，要使直线与O相交于两点，则d1.故k(，1)(1，).(2)设P点的坐标为(x，y)，联立方程得(k21)x22kx10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，故x，y.P.ktan ，点P的轨迹的参数方程为.6(2020桂林联考)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，直线l的参数方程为(t为参数，为l的倾斜角)，曲线E的极坐标方程为4sin ，射线，与曲线E分别交于不同于极点的A，B，C三点(1)求证：|OB|OC|OA|；(2)当时，直线l过B，C两点，求y0与的值解：(1)证明：依题意知，|OA|4sin ，|OB|4sin ，|OC|4sin ，则|OB|OC|4sin 4sin4sin |OA|.(2)当时，点B的极坐标为，点C的极坐标为，故B、C化为直角坐标为B(0,4)，C(，1)，所以直线l：yx4，y04，.
