1、第2节两直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率都存在且分别为k1，k2，则有l1l2k1k2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21；当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2两直线相交直线l1A1xB1yC10和l2A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2
2、|点线距点P0(x0，y0)到直线lAxByC0的距离d线线距两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.( )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( )(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.( )(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.( )(5)若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小
3、距离就是两条平行线的距离( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则实数m的值为( )A0B8C2 D10解析：B由题意知2，解得m8.2过点(1,0)，且与直线x2y20垂直的直线方程是( )Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10解析：C因为直线x2y20的斜率为，所以所求直线的斜率k2.所以所求直线的方程为y02(x1)，即2xy20.3教材改编已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于( )A. B2C.1 D.1解析：C由题意得1.解得a1或a1.a0，a1.4(2020承德模拟)
4、若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.解析：由题意知(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，整理得a2a0，即a0或1.答案：0或15直线2x2y10，xy20之间的距离是_.解析：先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.答案：考点一两条直线的平行与垂直(自主练透)题组集训1设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A当a1时，显然l1l2，若l1l2，则a(a1)210，所以a1或a2.所以a1是直线l1与直线l2平行的充分不必
5、要条件2若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为( )A.B.C. D.解析：D由已知得3(a1)a0，解得a.3(2020成都诊断)经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_.解析：法一：由方程组得即P(0,2)因为ll3，所以直线l的斜率k，所以直线l的方程为y2x，即4x3y60.法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.因为l与l3垂直，所以3(1)(4)(2)0，所以11，所以直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.答案
6、：4x3y60判断两条直线位置关系的2种方法判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑方法一：若直线l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则直线l1l2l1l2的充要条件是k1k21.方法二：设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2的充要条件是A1B2A2B1且A1C2A2C1；l1l2A1A2B1B20.考点二距离问题(师生共研)典例(1)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为( )A.B.C. D.(2)已知A(4，3)，B(2
7、，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为_.解析：(1)因为，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.(2)设点P的坐标为(a，b)因为A(4，3)，B(2，1)，所以线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，所以线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.因为点P(a，b)在直线xy50上，所以ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，所以2，即4a3b210由联立可得或所以所求点P的坐标为(1，4)或.答案(1)C(2)(1，4
8、)或处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便提醒利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等跟踪训练1已知P是直线2x3y60上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(1,1)，若|PO|PA|，则P点的坐标为_.解析：法一：设P(a，b)，则解得a3，b4.所以P点的坐标为(3,4)法二：线段OA的中垂线方程为xy10，则由解得则
9、P点的坐标为(3,4)答案：(3,4)2已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围为_.解析：由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范围是0,10答案：0,10考点三对称问题(多维探究) 命题角度1点关于点的对称1过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_.解析：设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l
10、的方程为x4y40.答案：x4y40命题角度2点关于线的对称2若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.解析：由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.答案：命题角度3直线关于直线对称3直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是( )Ax2y30Bx2y30Cx2y10 Dx2y10解析：A设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，则2(y2)(x2)30，
11、即x2y30.命题角度4对称问题与物理光学中的对称思想4在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心，则AP等于( )A2 B1C. D.解析：D以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)设ABC的重心为D，则D点坐标为.设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴的对称点P1为(m,0)，因为直线BC方程为xy40，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，kP1DkP2D，即，解得m或m0.当m
12、0时，P点与A点重合，故舍去m.解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解跟踪训练1坐标原点(0,0)关于直线x2y20对称的点的坐标是( )A. B.C. D.解析：A直线x2y20的斜率k，设坐标原点(0,0)关于直线x2y20对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得解得即所求点的坐标是.2(2020河北五校联考)直线axy3a10恒过定点M，则直线2x3y60关于M点对称的
13、直线方程为( )A2x3y120 B2x3y120C2x3y120 D2x3y120解析：D由axy3a10，可得a(x3)(y1)0，令可得x3，y1，M(3,1)，M不在直线2x3y60上，设直线2x3y60关于M点对称的直线方程为2x3yC0(C6)，则，解得C12或C6(舍去)，所求方程为2x3y120，故选D.1直线2xym0和x2yn0的位置关系是( )A平行B垂直C相交但不垂直 D不能确定解析：C直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率k2，则k1k2，且k1k21.故选C.2(2020怀化模拟)已知直线ax2y20与3xy20平行，则系数a( )A3 B6C D.解析：
14、B直线ax2y20与直线3xy20平行，3，a6.故选B.3(2020济南模拟)“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A由l1l2，得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2.m3是l1l2的充分不必要条件4若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为( )A. B4C. D2解析：Cl1l2，a2且a0，解得a1，l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy0，l1与l2的距离d.5一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线
15、l：xy10上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是( )A. B2C3 D4解析：B点O(0,0)关于直线xy10的对称点为O(1,1)，则虫子爬行的最短路程为|OA|2.6若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点( )A(0,4) B(0,2)C(2,4) D(4，2)解析：B直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)7(2020安阳模拟)两条平行线l1、l2分别过点P(1,2)，Q(2，3)，它们分别绕P，
16、Q旋转，但始终保持平行，则l1、l2之间距离的取值范围是( )A(5，) B(0,5C(，) D(0，解析：D当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线，l1，l2间的距离的最大值为，l1，l2之间距离的取值范围是(0，故选D.8已知三条直线2x3y10,4x3y50，mxy10不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )A. B.C. D.解析：D设l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy10，易知l1与l2交于点A，l3过定点B(0，1)因为l1，l2，l3不能构成三角形，所以l1l3或l2l3或l3过点A.当l1l3时，m；当l2l3时，m；当l3过点A时，m，所以实数m
17、的取值集合为，故选D.9若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_.解析：由得点(1,2)满足方程mx2y50，即m12250，m9.答案：910直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是_.解析：由题意得直线x2y10与直线x1的交点坐标为(1,1)又直线x2y10上的点(1,0)关于直线x1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得，即x2y30.答案：x2y3011已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_.解析：设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy3k40，由已知及点到直线的距离公式可得，k2或k，所求直线的方程为2xy20或2x3y180.答案：2x3y180或2xy2012已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_.解析：设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.答案：6xy60
