1、素养提升练(八)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分,考试时间120分钟第卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(2019江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知m,nR,集合A2,log7m,集合Bm,n,若AB1,则mn()A1 B2 C4 D8答案D解析因为AB1,则log7m1,m7,Bm,n7,n,n1,则mn8.故选D.2(2019无锡一中三模)已知i为虚数单位,且复数z满足z(1i)2i2019,则的值为()A. B.C. D2答案B解析z(1i)2i2019,zi
2、,故选B.3(2019厦门一中三模)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论:“任何由直线和抛物线所包围的弓形,其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四”如图,已知直线x2交抛物线y24x于A,B两点,点A,B在y轴上的射影分别为D,C.从长方形ABCD中任取一点,则根据阿基米德这一理论,该点位于阴影部分的概率为()A. B.C. D.答案B解析在抛物线y24x中,取x2,可得y2,S矩形ABCD8,由阿基米德理论可得弓形面积为8,则阴影部分的面积为S8.由测度比为面积比可得,该点位于阴影部分的概率为.故选B.4(2019全国卷)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲:
3、我的成绩比乙高乙:丙的成绩比我和甲的都高丙:我的成绩比乙高成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A甲、乙、丙 B乙、甲、丙C丙、乙、甲 D甲、丙、乙答案A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确若甲预测正确,则乙、丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙;若甲预测错误,则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,又假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从而乙的预测也正确,与事实矛盾;若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误综上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙故选A.5
4、(2019梧州一模)函数f (x)(e是自然对数的底数)的图象大致为()答案A解析f (x)的定义域是x|x0,关于原点对称,f (x)f (x),则函数f (x)是奇函数,图象关于原点对称,排除B,C.当x1时,f (x)0,排除D,故选A.6(2019莱阳一中一模)已知ABC中,sinA2sinBcosC0,bc,则tanA的值是()A. B. C. D.答案A解析sinA2sinBcosC0,sin(BC)2sinBcosC0,3sinBcosCcosBsinC0,由cosB0,cosC0,化为3tanBtanC,又bc,B为锐角,C为钝角,tanAtan(BC),当且仅当tanB时,取
5、等号,tanA的最大值是.7(2019莆田三模)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.答案C解析根据几何体的三视图可知,该几何体为正方体截去一个三棱锥与一个三棱柱,则该几何体的体积为V23222211.故选C.8(2019四川二诊)在数列an中,已知a11,且对于任意的m,nN*,都有amnamanmn,则数列an的通项公式为()Aann Bann1Can Dan答案D解析令m1,得an1ann1,an1ann1,a2a12,a3a23,anan1n,an1234n,an1234n.故选D.9(2019湖北六市联考)将直线xy10绕点(1,0)沿逆时针方向旋
6、转15得到直线l,则直线l与圆(x3)2y24的位置关系是()A相交 B相切C相离 D相交或相切答案B解析依题意得,直线l的倾斜角为150,所以直线l的方程是ytan150(x1)(x1),即xy10,圆心(3,0)到直线l的距离d2,故直线l与圆相切10(2019上饶一模)已知定义在R上的函数满足f (x1)f (x1),f (x)若关于x的不等式f (x)a(x2018)0在(2018,2020上恒成立,则实数a的取值范围为()A(,2 B(,2)C. D.答案C解析f (x)可得当0x1时,f (x)递增,且f (x)(4,3;当1x2时,f (x)ln (x1)55.由f (x1)f
7、(x1),可得f (x2)f (x),即f (x)的最小正周期为2,关于x的不等式f (x)a(x2018)0在(2018,2020上恒成立,即f (x)在(2018,2020上的图象在直线ya(x2018)的下方可得当2018x2019时,f (x)2x20185(4,3;当2019x2020时,f (x)ln (x2019)55,如上图,直线ya(x2018)恒过定点(2018,0),当直线经过点(2020,5)时,即52a,解得a,由图象可得a时,直线恒在f (x)在(2018,2020上图象的上方,故选C.11(2019徐州一中二模)已知正三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱长为4,M,
8、N分别为AB,BC上的点,且满足AMBN,当三棱锥B1BMN的体积最大时,三棱锥B1BMN的外接球的表面积为()A. B4C. D.答案D解析正三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱长为4,ABC60,设AMBNx(0x4),则V4(4x)xsin(4x)x2,当且仅当4xx即x2时取等号,可知BMN为等腰三角形,R,S4R242,故选D.12(2019北大附中一模)已知函数f(x)是奇函数f (x)(xR)的导函数,且满足当x0时,ln xf(x)f (x),则(x2019)f (x)0的解集为()A(1,0)(1,2019)B(2019,1)(1,2019)C(0,2019)D(1,1)答案C
9、解析设g(x)ln xf (x),则g(x)f (x)ln xf(x)0,可知函数g(x)在x0时单调递减,又g(1)0,可知函数g(x)ln xf (x)在(0,1)上大于零,且ln x0,可知f (x)0;在(1,)上,g(x)0)上的一个动点,则点P到直线xy0的距离的最小值是_答案4解析解法一:由题意可设P(x00),则点P到直线xy0的距离d4,当且仅当2x0,即x0时取等号故所求最小值是4.解法二:设P(x00),则曲线在点P处的切线的斜率为k1.令11,结合x00得x0,P(,3),曲线yx(x0)上的点P到直线xy0的最短距离即为此时点P到直线xy0的距离,故dmin4.16(
10、2019扬州中学模拟)已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线MN过F2,且与双曲线右支交于M,N两点,若cosF1MNcosF1F2M,则双曲线的离心率等于_答案2解析如图,由cosF1MNcosF1F2M可得F1MNF1F2M,|F1M|F1F2|2c,|F1N|2|F1M|4c,由双曲线的定义可得|MF2|2c2a,|NF2|4c2a,|MN|6c4a,在F1MN中,由余弦定理得cosF1MN,在F1F2M中,由余弦定理得cosF1F2M,cosF1MNcosF1F2M,整理得3c27ac2a20,3e27e20,解得e2或e(舍去)双曲线的离心率等于2.三、解答题:
11、共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:60分17(本小题满分12分)(2019太原一模)如图,已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asinA(ca)sinCbsinB,点D是AC的中点,DEAC,交AB于点E,且BC2,DE.(1)求B;(2)求ABC的面积解(1)asinA(ca)sinCbsinB,且,可得:a2c2acb2,由余弦定理得:cosB,0B,B60.(2)连接CE,如图,D是AC的中点,DEAC,AECE,CEAE,在BCE中,由正弦定理得,cosA,0A
12、180,A45,ACB75,BCEACBACE30,BEC90,CEAE,ABAEBE1,SABCABCE.18(本小题满分12分)(2019东北三省三校三模)哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩(满分150分),现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数,并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整;(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(3)现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个成绩,记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”,求事件A发生的概率解(1)甲同学成
13、绩的中位数是119,乙同学成绩的中位数是128.乙的成绩的频率分布直方图补充后如图(2)从茎叶图可以看出,乙同学成绩的平均分比甲同学成绩的平均分高,且乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中(3)甲同学不低于140分的成绩有2个设为a,b,乙同学不低于140分的成绩有3个,设为c,d,e.现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种,其中2个成绩分属不同同学的情况有:(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),共6种因此事件A发生的
14、概率P(A).19(本小题满分12分)(2019株洲一模)如图,平面ABCD平面ADEF,其中四边形ABCD为矩形,四边形ADEF为直角梯形,AFDE,AFFE,AF2EF2DE2.(1)求证:平面BFD平面ABCD;(2)若三棱锥BADF的体积为,求BD与平面BAF所成角的正弦值解(1)证明:如图,作DHAF于H,AFFE,AF2EF2DE2.四边形DEFH是正方形,HFDH1,HDF45,AF2,AH1,ADH45.ADF90,即DFAD,平面ABCD平面ADEF,AD为两个面的交线,FD平面ABCD.平面BFD平面ABCD.(2)因为平面ABCD平面ADEF,ABAD,所以AB平面ADE
15、F,VBADFSADFAB21AB,所以AB1,又AD2AF2DF22222,BD连接BH,易知DBH为BD与平面BAF所成的角,在直角BDH中,BD,DH1,sinDBH,所以BD与平面BAF所成角的正弦值为.20(本小题满分12分)(2019天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知|OA|2|OB|(O为原点)(1)求椭圆的离心率(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x4上,且OCAP.求椭圆的方程解(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有a2b,又由a2b2c2,消去b得a22c2,解得.所以,椭圆的离
16、心率为.(2)由(1)知,a2c,bc,故椭圆方程为1.由题意,F (c,0),则直线l的方程为y(xc)点P的坐标满足消去y并化简,得到7x26cx13c20,解得x1c,x2.代入到l的方程,解得y1c,y2c.因为点P在x轴上方,所以P.由圆心C在直线x4上,可设C(4,t)因为OCAP,且由(1)知A(2c,0),故,解得t2.因为圆C与x轴相切,所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切,得2,可得c2.所以,椭圆的方程为1.21(本小题满分12分)(2019济宁二模)已知函数f (x)xln xax在xx0处取得极小值1.(1)求实数a的值;(2)设g(x)xf (x)b(b0),讨论函
17、数g(x)的零点个数解(1)易知函数f (x)的定义域为(0,),f(x)ln x1a.函数f (x)xln xax在xx0处取得极小值1,解得当a1时,f(x)ln x,则当x(0,1)时,f(x)0,x(1,)时,f(x)0,f (x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,当x1时,函数f (x)取得极小值1,a1.(2)由(1)知函数g(x)xf (x)bx2ln xx2b,定义域为(0,)g(x)2xln xx2x2x.令g(x)0,得x,易得g(x)在(0,)上单调递减,在(,)上单调递增,当x时,函数g(x)取得极小值(也是最小值)b.当b0,即b时,函数g(x)没有零点当
18、b0,即b时,函数g(x)有一个零点当b0,即0b时,g(e)b0.g()g(e)0,故存在x1(,e),使g(x1)0,g(x)在(,e)上有一个零点x1.设h(x)ln x1,x(0,1),则h(x).当x(0,1)时,h(x)0,h(x)在(0,1)上单调递减h(x)h(1)0,即当x(0,1)时,ln x1.当x(0,1)时,g(x)x2ln xx2bx2x2bbx.取xb,1min,则g(x)0,g()g(x)0,存在x2(x,),使函数g(x2)0,g(x)在(x,)上有一个零点x2,g(x)在(0,)上有两个零点x1,x2,综上可得,当b时,函数g(x)没有零点,当b时,函数g(
19、x)有一个零点,当0b时,函数g(x)有两个零点(二)选考题:10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程(2019合肥市第一次教学质量检测)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为(为参数)以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2cos.(1)求C1,C2交点的直角坐标;(2)设点A的极坐标为,点B是曲线C2上的点,求AOB面积的最大值解(1)C1:x2y21,C2:2cos,22cos,x2y22x.联立方程组解得或所求交点的坐标为,.(2)设B(,),则2cos,AOB的面积S|OA|OB|sinAOB当时,Smax2.23(本小题满分10分)选修45:不等式选讲(2019合肥市第一次教学质量检测)设函数f (x)|x1|.(1)若f (x)2x2,求实数x的取值范围;(2)设g(x)f (x)f (ax)(a1),若g(x)的最小值为,求a的值解(1)f (x)2x2,即|x1|22x,当x1时,原不等式化为x122x,解得x;当x1时,原不等式化为x12x2,无解实数x的取值范围是.(2)a1,1,g(x)易知函数g(x)在x上单调递减,在x上单调递增,g(x)ming1.1,解得a2.