1、第3课时不等式的证明反证法、放缩法、几何法学习目标：1.了解放缩法、反证法、几何法的概念；理解用反证法、放缩法、几何法证明不等式的步骤(重点)2.会用反证法、放缩法、几何法证明一些简单的不等式(难点)教材整理1放缩法与几何法阅读教材P18P20，完成下列问题1放缩法证明命题时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法2几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)分式的放缩可以通过放大(或缩小)分子(或分母)来进行.()(2)整式的放缩可以通过
2、加减项来进行.()(3)从，cbc，aac，三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c.0a1，(1a)a.同理(1b)b，(1c)c.又(1a)a，(1b)b，(1c)c均大于零，(1a)a(1b)b(1c)c，因此式与式矛盾故假设不成立，即原命题成立1反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论， 不从结论的反面推理，就不是反证法2利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理推出与已知条件或定理事实相矛盾，或自相矛盾1若0a2,0b2,0c1.同理1，1.得33，矛盾所以原命题得证.反证法证明“至少”“至多”型命题【例2】已知
3、f(x)x2pxq，求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.精彩点拨(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论自主解答(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)用反证法证明假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.又|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2，互相矛盾，假设不成立，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.1当证明的题目
4、中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，常使用反证法证明，在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立2在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾2已知函数yf(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：yf(x)在区间(a，b)上至多有一个零点证明假设函数yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点不妨设x1，x2(x1x2)为函数yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则f(x1)f(x2)0.函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2(a，b)且x1x2，f(x1)f(x2)，与f(x1)f
5、(x2)0矛盾，原假设不成立函数yf(x)在(a，b)上至多有一个零点.放缩法证明不等式探究问题1若将放大(或缩小)，常用哪些方法？提示将分子或分母放大(缩小)：1)，1)，(k1)等2在整式放缩中，常用到哪些性质？提示在整式的放缩中，常用到不等式的性质绝对值不等式、平均值不等式等如ab2(a，b为正数)，a2b22ab，|a|b|ab|a|b|等【例3】已知an2n2，n为正整数，求证：对一切正整数n，有.精彩点拨针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项自主解答当n2时，an2n22n(n1)，111，即.放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，谨慎地
6、添或减是放缩法的基本策略3求证：1k(k1)，(k为正整数，且n2)，分别令k2,3，n得1，因此11112，故不等式10，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的假设为()Aa0，b0，c0，c0Ca，b，c不全是正数Dabc0答案C3已知a，b，c，d都是正数，S，则有()AS1CS2D以上都不对解析S(abcd)1.答案B4已知a为正数，则，从大到小的顺序为_解析2，2，2.答案5已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR.(1)若ab0，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论证明(1)ab0，ab.由已知f(x)的单调性得：f(a)f(b)又ab0baf(b)f(a)两式相加即得：f(a)f(b)f(a)f(b)(2)命题(1)的逆命题为：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.逆命题成立下面用反证法证之假设ab0，那么：f(a)f(b)f(a)f(b)这与已知矛盾，故只有：ab0.逆命题得证
