1、5简单复合函数的求导法则学 习 目 标核 心 素 养1了解复合函数的概念(难点)2掌握复合函数的求导法则(重点)3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数(重点、难点)1通过对复合函数的求导法则的理解，提升了学生的逻辑推理的核心素养.2通过运用复合函数求导法则进行求导的学习，培养了学生的数学运算的核心素养.1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和u(x)axb，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数yf(u)和u(x)的复合函数，记作yf(x)，其中u为中间变量2复合函数的求导法则复合函数yf(x)的导数和函数yf(u)，
2、u(x)的导数间的关系为yxyuux.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积1下列函数不是复合函数的是()Ayx31BycosCy Dy(2x3)4AA中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数ux，ycos u的复合函数，C中的函数可看作函数uln x，y的复合函数，D中的函数可看作函数u2x3，yu4的复合函数，故选A.2(ln 2x)等于()A.B.C.D.B(ln 2x)(2x).3已知f(x)ln(3x1)，则f(1)_.f(x)(3x1)，f(1).复合函数的定义【例1】指出下列函数是怎样复合而成的(1)y(35x)2；(2)ylog3(x22x5)；(3)ycos
3、3x.思路探究：分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系解(1)y(35x)2是由函数yu2，u35x复合而成的(2)ylog3(x22x5)是由函数ylog3u，ux22x5复合而成的(3)ycos 3x是由函数ycos u，u3x复合而成的判断复合函数的方法判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数1指出下列函数由哪些函数复合而成(1)yln ；(2)yesin
4、x；(3)ycos(x1)解(1)yln u，u.(2)yeu，usin x.(3)ycos u，ux1求复合函数的导数【例2】求下列函数的导数(1)ye2x1；(2)y；(3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x.思路探究：先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导解(1)函数ye2x1可看作函数yeu和u2x1的复合函数，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1(2)函数y可看作函数yu3和u2x1的复合函数，yxyuux(u3)(2x1)6u46(2x1)4.(3)函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，yxyuux(5log2u
5、)(1x).(4)函数ysin3x可看作函数yu3和usin x的复合函数，函数ysin 3x可看作函数ysin v和v3x的复合函数yx(u3)(sin x)(sin v)(3x)3u2cos x3cos v3sin2x cos x3cos 3x.1解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成2复合函数求导的步骤2求下列函数的导数(1)y(2x1)4；(2)y；(3)ysin；(4)y102x3.解(1)原函数可看作yu4，u2x1的复合函数，则yxyuux(u4)(2x1)4u328(2x1)3.(2)y(
6、12x)可看作yu，u12x的复合函数，则yxyuuxu(2)(12x).(3)原函数可看作ysin u，u2x的复合函数，则yxyuuxcos u(2)2cos2cos.(4)原函数可看作y10u，u2x3的复合函数，则yxyuux102x3ln 102(2ln 10)102x3.复合函数导数的应用探究问题1求曲线ycos在x处切线的斜率提示y2sin，切线的斜率k2sin22求曲线yf(x)e2x1在点处的切线方程提示f(x)e2x1(2x1)2e2x1，f2，曲线ye2x1在点处的切线方程为y12，即2xy20.【例3】已知函数f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(
7、1，f(1)处的切线为l，若直线l与圆C：x2y2相切，求实数a的值思路探究：求出导数f(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解解因为f(1)a，f(x)2ax(x2)，所以f(1)2a2，所以切线l的方程为2(a1)xy2a0.因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d，解得a.关于复合函数导数的应用及其解决方法1应用复合函数导数的应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用2方法先求出复合函数的导数，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标总之，在解决此类
8、问题时切点起着至关重要的作用3曲线yf(x)esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程解设usin x，则f(x)(esin x)(eu)(sin x)cos xesin x.f(0)1则切线方程为y1x0，即xy10.若直线l与切线平行可设直线l的方程为xyc0.两平行线间的距离dc3或c1故直线l的方程为xy30或xy10.1判断复合函数的复合关系的一般规律是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数
9、2求复合函数导数的几个环节(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos .()(2).()(3)(e2x)e2x.()(4)(cos 2x)sin 2x.()(5)(ln 5x).()答案(1)(2)(3)(4)(5)2设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.2令yf(x)，则曲线yeax在点(0,1)处的切线的斜率为f(0)，又切线与直线x2y10垂直，所以f(0)
10、2因为f(x)eax，所以f(x)(eax)(eax)(ax)aeax，所以f(0)ae0a，故a23已知f(x)e2x2x，则_.2(ex1)f(x)2e2x2，2(ex1)4求下列函数的导数(1)ycos(x3)；(2)y(2x1)3；(3)ye2x1解(1)函数ycos(x3)可以看做函数ycos u和ux3的复合函数，由复合函数的求导法则可得yxyuux(cos u)(x3)sin u1sin usin(x3)(2)函数y(2x1)3可以看做函数yu3和u2x1的复合函数，由复合函数的求导法则可得yxyuux(u3)(2x1)3u226u26(2x1)2(3)函数ye2x1可以看作函数yeu和u2x1的复合函数，由复合函数的求导法则可得yyuux(eu)(2x1)eu(2)2eu2e2x1
