1、云南师大附中2020届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CABCDACBADAB【解析】1或， 或，故选C2，的虚部为1 ，故选A3依题意，双曲线的焦点在轴上时，设它的方程为；焦点在轴上时，设它的方程为，依题意可知，双曲线的一条渐近线方程为，则或，所以或，即或，故选B4由题意，根据给定的程序框图，可知第一次执行循环体得，此时，不满足第一个条件，不满足第二条件；第二次执行循环体得，此时，不满足第一个条件，不满足第二个条件；第三次执行循环体得，此时且，既满足第一个条件又满足第二个条件，退出循环，故选C图1
2、5根据表中的数据画出散点图如图1所示，由图象可知，回归直线方程为的斜率，又当时，由表中数据得， ，所以样本中心为，因为回归直线过样本中心，所以，故选D6因为为的中点，所以，又， ，故选A图27由实数满足约束条件作出可行域如图2，则的最大值就是的最大值时取得，联立解得，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，此时有最大值为，故选C8二项式的展开式中的通项，含的项的系数为，故选B9令，则的定义域为，因为 ，所以为偶函数，则选项C，D错误；当 时，所以选项B错误，故选A10设直线与轴交于点，连接，因为直线的倾斜角为，所以，又，所以为等边三角形，即，则，在中， ，所以，即，所以抛物
3、线的方程为，故选D11因为，所以，因为 ，即，又，所以，又，所以，所以，故选A图312如图3，在中，设，则，取，的中点分别为，则，分别为和的外接圆的圆心，连接，又直三棱柱的外接球的球心为，则为的中点，连接，则为三棱柱外接球的半径设半径为，因为直三棱柱，所以，所以三棱锥的高为2，即，又三棱锥体积为2 ，所以在中，所以 ，当且仅当时取“=”，所以球的表面积的最小值是，故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案【解析】13因为，所以14设等比数列的公比为，得， ，又，得15因为，所以，令， 则或所以或，所以函数 ，的单调递增区间为和16因为，所以，即.因为对任意
4、，不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以且，即，所以，所以，所以，令，则当时，；当时， 当且仅当 时，取得最大值为三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）解：（1）因为在中，所以，在中，所以，（3分），（6分）（2）设的外接圆的半径为，由（1）知，又，得，（9分），联立解得，的周长为（12分）18（本小题满分12分）解：（1）设“从这100箱橙子中随机抽取一箱，抽到一级品的橙子”为事件，则（2分）现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的个数为，则，所以恰好抽到2箱是一级品的概率为（4分）（2）设方案二的单价为，则单价的期望为，（6分）因为，所以从采购
5、商的角度考虑应该采用方案一（3）用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，则现从中抽取3箱，则珍品等级的数量服从超几何分布，则的所有可能取值分别为0，1，2，3，（10分）的分布列为0123（12分）19（本小题满分12分）（1）证明：如图4，在中，因为，分别为棱，的中点，连接，所以，又平面，平面，图4所以平面（4分）（2）解：取的中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以又，平面，所以平面，平面，所以连接，所以，所以如图5建系， （6分）设， 则，图5因为，所以， ，所以，则，所以，则，设的一个法向量为，则即令，则（10分）设直线与所
6、成的角为，则， 又，所以，所以直线与所成的角的余弦值为（12分）20（本小题满分12分）解：（1）由题意得解得，所以椭圆的标准方程为（4分）（2）直线恒过轴上的定点证明如下：因为 所以，因为直线过点当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，不妨设则，此时，直线的方程为，所以直线过定点；（6分）直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， ，所以，直线：，令，得，即，又，所以，即证，即证，（*）（9分）联立消得，因为点在内，所以直线与恒有两个交点，由韦达定理得，代入（*）中得， 所以直线过定点，综上所述，直线恒过轴上的定点（12分）21（本小题满分12分）解：（1）当时，因为，所以，所以，又，所以函数
7、在点处的切线方程为，即（4分）（2）令，因为，所以，所以为奇函数（6分）当时，所以在上单调递减，所以在上单调递减，又满足不等式，即，所以，化简得，所以，即（8分）令，因为是函数的一个零点，所以在时有一个零点；当时，所以在上单调递减，又，又因为，所以要使在时有一个零点，只需，解得，所以实数的取值范围为（12分）22（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】解：（1）将曲线：，消参得，经过伸缩变换后得曲线：，化为极坐标方程为，将直线的极坐标方程为，化为直角坐标方程为（5分）（2）由题意知在直线上，又直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为设对应的参数分别为，将直线的参数方程代入中，得（8分）因为在内，所以恒成立，由韦达定理得所以（10分）23（本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】解：（1）由题意得（2分）不等式等价于三个不等式组或或解得，所以不等式的解集为（5分）（2）由（1）可知，因为，所以，所以，所以，所以，所以，（8分）所以，所以，即（10分）
