1、【课标要求】1.能够运用模拟方法估计概率.2.了解模拟方法估计概率的实际应用.3.初步体会几何概型的意义.自主学习 基础认识|新知预习|1几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M，若点 M 落在子区域 G1 G 的概率与 G1 的面积成正比，而与 G 的形状、位置无关，即 P(点 M 落在 G1)G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型(2)几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比2几何概型与古典概型的异同概率类型不同点相同点 几何概型试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个古典概率试验中的所有可能出现的结果只有有限个每个基
2、本事件出现的可能性一样，即满足等可能性|自我尝试|1下列概率模型中，几何概型的个数为()从区间10,10内任取出一个数，求取到 1 的概率；从区间10,10内任取出一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的概率；从区间10,10内任取出一个整数，求取到大于 1 而小于 2的数的概率；向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 离中心不超过 1 cm 的概率A1 个 B2 个C3 个D4 个解析：不是几何概型，虽然区间10,10有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；是几何概型，因为区间10,10和1,1上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个
3、数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；不是几何概型，因为区间10,10上的整数只有 21 个(是有限的)，不满足无限性特征；是几何概型，因为在边长为 4 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性 答案：B2在区间0,3上任取一个数，则此数不大于 2 的概率是()A.13B.12C.23D.79解析：此数不大于 2 的概率 P区间0，2的长度区间0，3的长度23.答案：C3若将个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中AB2，BC1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是()A.2 B.4C.6 D
4、.8解析：由几何概型的概率公式可知，质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率 P 半圆的面积长方形的面积122 4.故选 B.答案：B4在 1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出 10 mL，则含有麦锈病种子的概率为_解析：设事件 A10 mL 小麦种子中含有麦锈病种子，由几何概型的概率计算公式得 P(A)101 0000.01，所以 10 mL 小麦种子中含有麦锈病种子的概率是 0.01.答案：0.01课堂探究 互动讲练类型一与长度有关的几何概型例 1 如图，A，B 两盏路灯之间的距离是 30 米，由于光线较暗，想在 A 与 B 之间再随意安装两盏路灯 C、D，问：A 与
5、 C，B 与D 之间的距离都不小于 10 米的概率是多少？【解析】记 E：“A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 米”，把 AB 三等分，由于中间长度为 301310 米，所以 P(E)103013.方法归纳 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件 A 的概率.跟踪训练 1 已知函数 f(x)log2x，在区间12，2上随机取一 x0，则使得 f(x0)0 的概率为_解析：f(x)log2x0 可以得出 x1，所
6、以在区间12，2 上使f(x)0 的范围为1,2，所以使得 f(x0)0 的概率为 P2121223.答案：23类型二与角度有关的几何概型例 2 设 A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与 A连接，求弦长超过半径的 2倍的概率【思路点拨】先找出相应考查的区域及角度大小，然后根据几何概型公式计算即可【解】如图所示，在O 上有一定点 A，任取一点 B 与 A 连接，则弦长超过半径的 2倍，即为AOB 的度数大于 90，而小于270.记“弦长超过半径的 2倍”为事件 C，则 C 表示的范围是AOB(90，270)则由几何概型概率的公式，得 P(C)2709036012.方法归纳如果试验的结果
7、所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率的计算公式为：P(A)事件A构成的区域角度试验的全部结果构成的区域角度.跟踪训练 2 如图所示，在圆心角为 90的扇形中，以圆心 O 为起点作射线OC，求使得AOC 和BOC 都不小于 30概率解析：如图所示，以 O 为起点作射线 OC 是随机的，而射线落在AOB 内的任何位置是等可能的，作AODBOE30，则 OC 落在DOE 内符合题目要求，OC 落在DOE 内只与DOE 的大小有关，符合几何概型的特点设事件 A 为“射线 OC落在DOE 内”事件 A 的度量是 90303030，试验的全部结果的度量是 90，由几何概型的概率公式是 P(A)3
8、09013.类型三与体积有关的几何概型例 3 有一杯 2 升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出 0.1 升水，求这一小杯水中含有这个细菌的概率【解析】设小水杯中含有这个细菌为事件 A，则事件 A 构成的区域体积是 0.1 升，全部试验结果构成的区域体积是 2 升，所以P(A)0.12 0.05.方法归纳当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或者当概率问题涉及体积时，则可以考虑利用几何概型概率的计算公式 P(A)构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积进行求解常用的体积计算公式有柱形体积公式、锥形体积公式以及球的体积公式.跟踪训练 3 在一个圆锥体的培养房内培养了 40
9、只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的求蜜蜂落入第二实验区的概率解析：记“蜜蜂落入第一实验区”为事件 A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件 B.依题意，P(A)V小锥体V圆锥体 1314S圆锥底面12h圆锥13S圆锥底面h圆锥18，P(B)1P(A)78，蜜蜂落入第二实验区的概率为78.类型四与面积有关的几何概型例 4 如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点若在矩形ABCD 内部随机
10、取一个点 Q，则点 Q 取自ABE 内部的概率等于()A.14 B.13C.12D.23【解析】点 Q 取自ABE 内部的概率为 P SABES矩形ABCD12|AB|AD|AB|AD|12，故选 C.【答案】C方法归纳此类几何概型问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型公式，从而求得随机事件的概率.跟踪训练 4 如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，则 P(A)()A.4B.1C2 D.2解析：豆子落在正方形 EFGH 内是随机的，故可以认
11、为豆子落在正方形 EFGH 内任一点是等可能的，属于几何概型因为圆的半径为 1，所以正方形 EFGH 的边长是 2，则正方形 EFGH 的面积是2，又圆的面积是，所以 P(A)2.故选 D.答案：D|素养提升|1利用几何概型的概率公式，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值2如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型3几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概率模型，对应随机事件及试验结果的几何度量可以是长度、面积或体积4处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件 A 包含的基本事件对应的区域的长度
12、(角度、面积或体积)，而这往往会遇到计算困难，这是本节难点之一实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题为此可参考如下办法：(1)选择适当的观察角度；(2)把基本事件转化为与之对应的几何区域；(3)把随机事件 A 转化为与之对应的几何区域；(4)利用概率公式计算；(5)如果事件 A 对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景出发去判断|巩固提升|1若过正三角形 ABC 的顶点 A 任作一条直线 L，则 L 与线段BC 相交的概率为()A.12B.13C.16D.112
13、解析：由于直线向两端无限延伸，当直线绕点 A 旋转时，直线和线段 BC 相交的概率为12036013.答案：B2如图，在边长为 25 cm 的正方形中挖去边长为 23 cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，则粒子落在中间带形区域的概率为()A.529625B.433625C.192625D.96625解析：因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件设 A“粒子落在中间带形区域”，则依题意得正方形面积为 2525625，两个等腰直角三角形的面积为2122323529，带形区域的面积为 62552996，故所求概率为 P(A)96625.答案：D3在 1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出 3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_解析：由几何概型知，P31 000.答案：31 000
