1、考点11.3 二项式定理考点梳理1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tk1Cankbk，它表示第k1项二项式系数二项展开式中各项的系数C，C，C2.二项式系数的性质(1)C1，C1，CCC.CC(0mn)(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第1项的二项式系数最大，最大值为，当n为奇数时，第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.(3)各二项式系数和：CCCC2n，CCCCCC2n1.概念方法微思考1(ab)n与(ba)n的展开式有何区别与联系？提示(ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个
2、展开式的通项不同2二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定真题演练1（2020北京）在的展开式中，的系数为（）AB5CD10【答案】C【解析】的展开式中，通项公式为，令，求得，可得的系数为，故选C2（2020新课标）的展开式中的系数为（）A5B10C15D20【答案】C【解析】因为；要求展开式中的系数即为求展开式中的系数；展开式含的项为：；故的展开式中的系数为15；故选C3（2019全国）的展开式中的系数是（）A120B60C30D15【答案】B【解析】由二项式的展开式的通项为，令，解得，则的展开式中的
3、系数是，故选B4（2019新课标）的展开式中的系数为（）A12B16C20D24【答案】A【解析】的展开式中的系数为：故选A5（2018新课标）的展开式中的系数为（）A10B20C40D80【答案】C【解析】由二项式定理得的展开式的通项为：，由，解得，的展开式中的系数为故选C6（2017新课标）展开式中的系数为（）A15B20C30D35【答案】C【解析】展开式中：若提供常数项1，则提供含有的项，可得展开式中的系数：若提供项，则提供含有的项，可得展开式中的系数：由通项公式可得可知时，可得展开式中的系数为可知时，可得展开式中的系数为展开式中的系数为：故选C7（2017新课标）的展开式中的系数为（
4、）ABC40D80【答案】C【解析】的展开式的通项公式：令，解得令，解得的展开式中的系数故选C8（2020浙江）二项展开式，则_，_【答案】80；122【解析】，则故答案为：80；1229（2020上海）已知二项式，则展开式中的系数为_【答案】10【解析】，所以展开式中的系数为10故答案为：1010（2020新课标）的展开式中常数项是_（用数字作答）【答案】240【解析】由于的展开式的通项公式为，令，求得，故常数项的值等于，故答案为：24011（2020天津）在的展开式中，的系数是_【答案】10【解析】的展开式的通项公式为 ，令，得，的系数是，故答案为1012（2019上海）已知二项式，则展开
5、式中含项的系数为_【答案】40【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中含项的系数值为，故答案为：4013（2019天津）的展开式中的常数项为_【答案】28【解析】由题意，可知：此二项式的展开式的通项为：当，即时，为常数项此时故答案为：2814（2019浙江）在二项式展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是_【答案】，5【解析】二项式的展开式的通项为由，得常数项是；当，3，5，7，9时，系数为有理数，系数为有理数的项的个数是5个故答案为：，515（2019上海）在的展开式中，常数项等于_【答案】15【解析】展开式的通项为令得，故展开式的常数项为第3项：故答案为：1516（2
6、018全国）多项式中的系数为_（用数字填写答案）【答案】9【解析】多项式中的系数，即为和中的系数之和，为，故答案为：917（2018天津）在的展开式中，的系数为_【答案】【解析】的二项展开式的通项为由，得的系数为故答案为：18（2018浙江）二项式的展开式的常数项是_【答案】7【解析】由令，得二项式的展开式的常数项是故答案为：719（2018上海）设，若的二项展开式中的常数项相等，则_【答案】4【解析】的展开式的通项为，由，得的展开式中的常数项为的展开式的通项为，由，得的展开式的常数项为由，得故答案为：420（2018上海）在的二项展开式中，项的系数为_（结果用数值表示）【答案】21【解析】二
7、项式展开式的通项公式为，令，得展开式中的系数为故答案为：2121（2017全国）的展开式中的系数是_（用数字填写答案）【答案】【解析】的展开式中的通项公式为，令，求得，可得的系数是，故答案为：22（2017浙江）已知多项式，则_，_【答案】16；4【解析】多项式，中，的系数是：3，常数是1；中的系数是4，常数是4，；故答案为：16；423（2017山东）已知的展开式中含有的系数是54，则_【答案】4【解析】的展开式中通项公式：含有的系数是54，可得，解得故答案为：424（2017上海）若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为_【答案】160【解析】令，由题意可得：，解得展
8、开式的通项公式为：，令，解得，其展开式中常数项，故答案为：16025（2019江苏）设，已知（1）求的值；（2）设，其中，求的值【解析】（1）由，可得，可得，解得；（2）方法一、，由于，可得，可得；方法二、，由于，可得，可得强化训练1（2020内江三模）在的展开式中，的系数为ABCD【答案】B【解析】因为展开式通项为：，由题意，要求展开式中含的系数，只需求出的系数，令，得，故即为所求故选2（2020天津二模）已知的展开式中常数项为112，则实数的值为AB1C2D【答案】A【解析】通项公式为，令，解得，所以常数项为，解得故选3（2020衡水模拟）的展开式中的常数项为A40BC120D140【答案
9、】B【解析】 的展开式的通项公式为，则的展开式中的常数项为，故选4（2020安徽模拟）展开式中的系数为A20BC44D40【答案】B【解析】中的4次方，3次方的系数分别为：和；而展开式中的3次方，2次方的系数分别为：和；展开式中的系数为：；故选5（2020运城模拟）的展开式中，的系数是A32B40CD【答案】B【解析】展开式的通项公式是；则的系数是故选6（2020靖远县四模）展开式中的系数为A40B80CD【答案】A【解析】根据题意，展开式的通项为，当时，此时的展开式中含的项为，当时，此时的展开式中含的项为，则的展开式中含的项为，故展开式中的系数为40；故选7（2020黄州区校级模拟）若，则的
10、值是ABC126D【答案】C【解析】令，得又，所以故选8（2020鼓楼区校级模拟）设，1，2，是常数，对于，都有，则！A2019B2020C2019！D2020！【答案】A【解析】代入，得，而，代入得！，！，故选9（2020吉林模拟）已知不等式且的解集为，则二项式的展开式中系数最大项的系数为A16B80C240D480【答案】C【解析】由题意，当时，由，可得，当时，由，可得，所以故，系数为正，故展开式中系数最大项的系数为故选10（2020包河区校级模拟）的展开式中的系数为ABC32D352【答案】B【解析】，展开式的第项为，当时，即时，展开式中的系数为，当时，即时，展开式中的系数为，所以的展开
11、式中的系数为，故选11（2020黄州区校级二模）已知展开式的中间项系数为20，则由曲线和围成的封闭图形的面积为ABC1D【答案】A【解析】因为展开式的中间项系数为20，所以，解得，所以即曲线和围成的封闭图形的面积为，故选12（2020桃城区校级模拟）在的展开式中，含项的系数等于A98B42CD【答案】D【解析】的通项公式为，令得；令得；根据二项式定理，含项的系数等于故选13（2020雨花区校级模拟）若直线与垂直，则二项式的展开式中的系数为ABC2D【答案】B【解析】由题意，可得，则，的展开式的通项公式，令可得，故的系数为，故选14（2020榆林四模）的展开式中的常数项为A240B480C448
12、D228【答案】A【解析】通项公式，令，解得常数项故选15（2020让胡路区校级三模）已知，则A21B42CD【答案】C【解析】因为，即为展开式中的系数，所以，故选16（2020辽宁三模）在展开式中，含的项的系数是ABC15D51【答案】A【解析】，故展开式中含的系数为，故选17（2020贵港四模）已知二项式展开式中系数最大的只有第5项，则项的系数为A28B36C56D84【答案】A【解析】二项式展开式中系数最大的只有第5项，通项公式则项的系数为28故选18（2020龙凤区校级模拟）二项式的展开式中的系数为ABCD【答案】B【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，故二项式的展开式中的系数
13、为为，故选19（2020运城三模）展开式中项的系数为ABC15D5【答案】B【解析】展开式中项的系数：；展开式中项的系数：；故展开式中项的系数为，故选20（2020市中区校级模拟）在二项式的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为ABCD【答案】D【解析】二项式的展开式中，令，可得各项系数的和为，展开式的通项公式为，可知，当，2，4，6时，为有理项，即展开式中有4项有理项，有4项为无理项，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的方法有中，而所有的排法有种，故有理项都互不相邻的概率为，故选21（2020四川模拟）若展开式的常数项为160，则A1B2C
14、4D8【答案】A【解析】二项式的展开式的通项公式为，令，可得；故二项式展开式的常数项为，解得故选22（2020宁波模拟）若展开式的各项二项式系数和为512，则展开式中的常数项A84BC56D【答案】A【解析】展开式中所有二项式系数和为512，即，则，；令，则，所以该展开式中的常数项为84故选23（2020桃城区校级模拟）已知的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中的系数为A26B32C38D44【答案】C【解析】令，可得的展开式中各项系数的和为，则的展开式中的系数为，故选24（2020江西模拟）已知的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的系数为A80B40CD【答案】A【解析
15、】的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，由题意可得，解得，则的展开式中的系数为故选25（2020三模拟）的展开式中的系数等于A3B4CD【答案】C【解析】，其中的展开式中含的项是，的展开式中没有含的项，的展开式中的系数等于：故选26（2020西安二模）的展开式中常数项为A60BCD192【答案】A【解析】二项式的展开式的通项公式为：，令，求得，故常数项为：，故选27（2020绵阳模拟）我们把数列（其中，与叫做“互为隔项相消数列”，显然已知数列的通项公式为，其中表示不超过实数的最大整数，则除以4的余数为A0B1C2D3【答案】B【解析】由二项式定理可设：，其中，由题意可得，其中，则，即
16、，所以有：，因为，所以，所以，即有：，因为，即，所以有，因为，所以除以4的余数为1故选28（2020湖北模拟）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则展开式中常数项为A540B480C320D160【答案】A【解析】的展开式中，令，可得各项系数的和为，各项二项式系数的和为，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，的展开式的通项公式为：令，求得，可得展开式中的常数项等于故选29（20206月份模拟）若的展开式所有系数之和为，则此展开式中不含下列哪一项A项B项C项D项【答案】C【解析】根据题意，因为的展开式所有系数之和为，在中，令得，解可得；则，因为展开式的通项公式为：；则展开式中含项的系数为；其中的系数为，即此展开式中不含项；故选30（2020焦作四模）的展开式的常数项为A9B8CD【答案】A【解析】的通项令，得，令，得，所以的展开式的常数项为故选31（2020济宁模拟）在的展开式中，常数项为ABCD【答案】A【解析】因为的通项公式为：；时，；时，不存在；的展开式中，常数项为：；故选32（2020浙江模拟）的常数项的二项式系数为A375BC15D【答案】C【解析】由二项式展开式的通项公式为：；令可得，即展开式的中第5项是常数项常数项的二项式系数为为：；故选
