1、6.2.3 向量的数乘运算1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；1.教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；2.教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。1定义：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个 ，这种运算叫做 ，记作 2规定：|a| ，当 时，a的方向与a的方向 ；当0时，a的方向与a的方向 ；当0时，a 3运算律：设，为实数，则(1)(a) ；(2)()a ；(3)(ab) 特别地，我们有()a ，(ab) 4共线向量定理向量a(
2、a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 5向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b) 。一、探索新知探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？1.定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：（1） ；（2） 当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 。说明：（1）当时，。（2）。2.向量数乘的运算律探究2：求作向量和，(为非零向量)，并进行比较。向量数乘的运算律：设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1） ；（2） ；（3） 。特别地，有
3、 。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。注：向量的线性运算的结果仍为向量。对于任意向量、及任意实数、,恒有 。来源:学科网ZXXK例1：计算 (1) (2) (3) 注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。例2.如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且，用向量表示探究3：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？3.共线向量定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 。思考：为什么要是非零向量？可以是非零向量吗？牛刀小试：判断下列各小题的向量是否共线。（1）（2）（3） 。例3.如图，已知任意两个非零向量，试作，你能判断A、B、C三点之间的位置关
4、系，并证明你的猜想。结论：证明（判断）A、B、C三点共线的方法：且有公共点B,A、B、C三点 .例4.已知是两个不共线的向量，向量共线，求实数t的值。1下列各式中不表示向量的是()A0a Ba3bC|3a| De(x，yR，且xy)2下列计算正确的个数是()(3)2a6a；2(ab)(2ba)3a；(a2b)(2ba)0.A0 B1 C2 D33.等于()Aab2c B5ab2c Cab2c D5ab4O为平行四边形ABCD的中心，4e1，6e2，则3e22e1_5在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，证明：直线ADBC 这节课你的收获是什么？ 参考答案：探究1.，记作。即。的方向与的
5、方向相同，。类似地，其方向与的方向相反，。探究2.例1.例2.探究3.当的方向相同；当的方向相反。思考：若，则。可以是。牛刀小试：（1）共线 （2）共线 （3） 不共线。例3.例4.达标检测1.【解析】向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量【答案】C2.【解析】因为(3)2a6a故正确；中左2a2b2ba3a成立，故正确；中左a2b2ba00，故错误【答案】C3.【解析】(3a2a)(cc)ab2c.故选A【答案】A4.【解析】设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F为AB边中点，则3e22e1.【答案】(或)5.【证明】(a2b)(4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)2，与共线又AD与BC不重合，直线ADBC
