1、【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。课程目标1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握分数指数幂的运算性质。数学学科素养1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的
2、知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。 重点：（1）根式概念的理解；（2） 分数指数幂的理解；（3） 掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、 情景导入我们已经知道是正整数指数幂，它们的值分别为.那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本104-106页，思考并完成以下问题(1)n次方根是怎样定
3、义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1n次方根定义一般地，如果xna，那么X叫做a的n次方根，其中n1，且nN*个数n是奇数a0x0x仅有一个值，记为a0x0n是偶数a0x有两个值，且互为相反数，记为a0x不存在2根式(1)定义：式子 叫做根式，这里n叫做 根指数 ，a叫做 被开方数 (2)性质：(n1，且nN*)()n .3分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a
4、(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂规定：a(a0，m，nN*，且n1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于 0 , 0的负分数指数幂 没有意义 4有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)s(a0，r，sQ)(3)(ab)r(a0，b0，rQ)四、典例分析、举一反三题型一 根式的化简(求值)例1 求下列各式的值【答案】解题技巧：（根式求值）（1）化简nan时,首先明确根指数n是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(na)n时,关键是明确na是否有意义,只要na有意义,则(na)n=a.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母
5、参数的取值范围,即确定 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.跟踪训练一1.化简(1)(x，nN*)；(2).【答案】见解析【解析】(1)x，x0.当n为偶数时，|x|x；当n为奇数时，x.综上可知，(2)a，12a0，.题型二 分数指数幂的简单计算问题例2求值【答案】见解析【解析】解题技巧：(分数指数幂的运算技巧)1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.跟踪训练二1.计算(1
6、)12527-23 ; (2)0.008-23 ; (3)812 401-34; (4)(2a+1)0; (5)56-35-1-1.【答案】见解析 【解析】(1)12527-23=5333-23=5-23-2=3252=925.(2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=15-2=52=25.(3)812 401-34=3474-34=3-37-3=7333=34327.(4)(2a+1)0=1,a-12,无意义,a=-12.(5)56-35-1-1=56-53-1=-56-1=-65.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a0）【答案】见解析 【解析
7、】解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题跟踪训练三1下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A(x) (x0) B.y(y0)Cx (x0) Dx(x0)【答案】C【解析】 x (x0)；(y)2y (y0)；x(x3) (x0)；x(x0)题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值例4 计算:0.064-13-780+(-2)3-43+16-0.75+|-0.01|12.【答案】14380 【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4
8、+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380.解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示跟踪训练四1.计算:2350+2-2214-12-(0.01)0.5;2 .化简:3a72a-33a-83a153a-3a-1(a0).【答案】见解析【解析】(1)原式=1+144912-110012=1+16-110=1615.(2)原式=3a72a-32a-83a1533a-32a-12=3a2a733a-2=a23a7312a-23=a23a76a-23=a23-76+23=a16=6a.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计4.1.1 n次方根与分数指数幂1.n次方根与根式定义 例1 例2 2.分数指数幂 七、作业课本109页习题4.1本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础.
