1、第四章 对数运算与对数函数1 对数的概念知识点对数式与指数式互化1.%4￥*#0￥06%(多选)(2020上海徐江区检测)下列说法中正确的是()。A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可以化成对数式C.以10为底的对数叫作常用对数D.以e为底的对数叫作自然对数答案：ACD解析：ACD正确,B不正确,只有a0且a1时,ax=N才能化为对数式。故选ACD。2.%6#25*2*%(2020六安一中检测)若a0且a1,c0,则将ab=c化为对数式为()。A.logab=cB.logac=bC.logbc=aD.logca=b答案：B解析：由对数的定义直接可得logac=b。故选B。3.%1#08￥*
2、3%(2020吴淞中学月考)若loga7b=c(a0且a1,b0),则有()。A.b=a7cB.b7=acC.b=7acD.b=c7a答案：A解析：因为loga7b=c,所以ac=7b,所以(ac)7=(7b)7,所以a7c=b。故选A。4.%4*494￥*￥%(2020忻州一中月考)已知a23=49(a0且a1),则log23a=()。A.2B.3C.12D.13答案：B解析：由a23=49,得a=4932=233,所以log23a=log23233=3。故选B。5.%3#5*7*9%(2020高州三中测试)下列指数式与对数式互化不正确的一组是()。A.e0=1与ln 1=0B.log39=
3、2与912=3C.8-13=12与log812=-13D.log77=1与71=7答案：B解析：log39=2化为指数式为32=9,故选B。6.%￥671￥4#%(2020广安二中检测)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式。(1)53=125;答案：解:因为53=125,所以log5 125=3。(2)4-2=116;答案：因为4-2=116,所以log4 116=-2。(3)log128=-3;答案：因为log12 8=-3,所以12-3=8。(4)log3127=-3。答案：因为log3 127=-3,所以3-3=127。7.%#￥2051%(2020吉林实验中学月考)方程lg(x2-
4、1)=lg(2x+2)的根为()。A.-3B.3C.-1或3D.1或-3答案：B解析：由lg(x2-1)=lg(2x+2),得x2-1=2x+2,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3。当x=-1时x2-1=0,lg(x2-1)无意义,所以原方程的根为x=3。故选B。题型1对数概念的应用8.%6*7￥01#%(2020台州一中高一月考)求下列各式中x的值。(1)log2(log5x)=0;答案：解:由题意,log5x=1,x=5。(2)log3(lg x)=1;答案：由题意,lg x=3,x=103=1 000。(3)log(2-1)13+22=x。答案：由题意,x=log(2-1)1(3
5、+22)12=log(2-1)13+2212=12log(2-1)13+22=12log(2-1)(3-22)=12log(2-1)(2-1)2=122=1。9.%￥*￥32￥33%(2020上饶一中月考)已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(yx)的值是()。A.1B.0C.xD.y答案：B解析：由x2+y2-4x-2y+5=0,得(x-2)2+(y-1)2=0,所以x=2,y=1。所以logx(yx)=log2(12)=0。故选B。10.%7*2￥93￥%(2019黑龙江、吉林两省八校高一期中)已知alog23=1,4b=3,则ab等于()。A.0B.12C.34D.1答案：B解
6、析：由alog23=1,4b=3得 a=log32,b=log43=12log23,所以ab=log3212log23=12。故选B。11.%6*￥5￥*71%(2020北京人大附中月考)已知log7log3(log2x)=0,那么x-12等于()。A.13B.36C.24D.33答案：C解析：由条件,知log3(log2x)=1log2x=3x=23=8,所以x-12=8-12=1812=122=24。故选C。12.%￥92*￥74%(2020广安二中月考)若对数式log(2a-1)(6-2a)有意义,则实数a的取值范围为()。A.(-,3)B.12,3C.12,1(1,+)D.12,1(1
7、,3)答案：D解析：由已知,得6-2a0,2a-10,2a-11a12,12a1a0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()。A.d=acB.a=dcC.c=adD.d=a+c答案：B解析：由已知得5a=b,10c=b,所以5a=10c。因为5d=10,所以5dc=10c,所以5dc=5a,所以dc=a,故选B。14.%9￥*8#31%(2020乐山一中检测)若log31-2x9=1,则x=。答案：-13解析：因为log31-2x9=1,所以1-2x9=3,所以x=-13。15.%￥*9626%(2020宁波效实中学月考)已知4a=2,lg x=a,则x=。答案：
8、10解析：因为4a=2,所以a=12。因为lg x=a,所以x=10a=10。16.%*￥1790￥%(2020六安一中月考)若a=lg 2,b=lg 3,则100a-b2的值为。答案：43解析：因为a=lg 2,所以10a=2。因为b=lg 3,所以10b=3。所以100a-b2=(10a)210b=43。17.%77￥86#%(2020长治二中月考)给出下列叙述:lg(lg 10)=0;lg(ln e)=0;若10=lg x,则x=10;由log25x=12,得x=5。其中正确的是。(把正确的序号都填上)答案：解析：因为lg 10=1,所以lg(lg 10)=lg 1=0,正确;因为ln
9、e=1,所以lg(ln e)=lg 1=0,正确;若10=lg x,则x=1010,错误;由log25x=12,得x=2512=5,错误。18.%3974￥%(2020揭阳调考)对于任意实数x,符号x表示x的整数部分,即x是不超过x的最大整数。这个函数x叫作“取整函数”,则lg 1+lg 2+lg 3+lg 4+lg 2 018=。答案：4 947解析：根据定义,lg 1=lg 2=lg 3=lg 4=lg 9=0,lg 10=lg 11=lg 12=lg 99=1,lg 100=lg 101=lg 102=lg 999=2,lg 1 000=lg 1 001=lg 1 002=lg 2 01
10、8=3,所以lg 1+lg 2+lg 3+lg 4+lg 2 018=1(99-9)+2(999-99)+3(2 018-999)=90+2900+31 019=4 947。题型2对数的基本运算19.%￥*￥50￥68%(2020郑州一中月考)完成下列题目。(1)已知log189=a,log1854=b,求182a-b的值;答案：解:因为log189=a,log1854=b,所以18a=9,18b=54。所以182a-b=182a18b=9254=32。(2)已知logx27=31+log32,求x的值。答案：logx27=31+log32=33log32=32=6。所以x6=27,所以x6=
11、33。又x0,所以x=3。20.%￥970￥*4%(2020北京19中检测)若log12x=m,log14y=m+2,求x2y的值。答案：解:因为log12x=m,所以12m=x, x2=122m。因为log14 y=m+2,所以14m+2=y,y=122m+4。所以x2y=122m122m+4=122m-(2m+4)=12-4=16。21.%3#￥*985%(2020广安二中月考)完成下列题目。(1)求下列各式中x的值:log2x=-12;logx3=-13。答案：(2)已知3m=8,试用m表示下列各式:log38;log32;log83。答案：22.%#796#5#%(2020北京景山学校
12、期中考试)已知lg a和lg b是关于x的方程x2-x+m=0的两个根,而关于x的方程x2-(lg a)x-(1+lg a)=0有两个相等的实数根,求实数a,b和m的值。答案：解:由题意得lga+lgb=1,lgalgb=m, (lga)2+4(1+lga)=0, 由得(lg a+2)2=0,所以lg a=-2,即a=1100。代入得lg b=1-lg a=1+2=3,所以b=1 000。代入得m=lg alg b=-23=-6。23.%6#877%(2020江门期末调考)完成下列题目。(1)已知logax=2,logbx=3,logcx=6,求logabcx的值;答案：解:因为logax=2,logbx=3,logcx=6,所以x=a2,x=b3,x=c6,所以a=x12,b=x13,c=x16,所以abc=x12+13+16=x,所以logabcx=logxx=1。(2)已知7.2x=3,0.8y=3,求证:1x-1y=2。答案：证明:由已知得0.8x=31-2x=(0.8y)1-2x=0.8y-2xy,所以x=y-2xy即y-x=2xy,因为x,y0,所以1x-1y=2。
