1、第2课时等角定理与异面直线所成的角课后篇巩固探究1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则EFG与ABC1()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定解析因为E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点,所以EFA1B1AB,FGBC1,所以EFG与ABC1的两组对应边分别平行,一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,故EFG与ABC1互补.答案B2.若BD1是正方体ABCD-A1B1C1D1的一条体对角线,则这个正方体中面对角线与BD1异面的共有()A.7条B.6条C.4条D.3条解析正方体的六个面中各有一条对角线符合题意.答案B3
2、.若OAOA,OBOB,且AOB=130,则AOB为()A.130B.50C.130或50D.不能确定解析根据定理,AOB与AOB相等或互补,即AOB=130或AOB=50.答案C4.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面解析画出图形,得到结论.如图(1),分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图(2),分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.答案D5.在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若CD=2AB=4,EFAB,则EF与CD所成的角为()A.90B.45C.60D.30
3、解析设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为ABD,ACD的中位线.故GFAB,且GF=12AB=1,GECD,且GE=12CD=2,GEF就是异面直线EF与CD所成的角.EFAB,EFGF,GEF为直角三角形,且sinGEF=12,GEF=30.故选D.答案D6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是;(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是;(4)直线AB与直线B1C的位置关系是.解析(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平
4、行四边形,所以A1BD1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面7.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是.解析连接GB1,B1F,则GB1A1E,故B1GF或其补角即为A1E与GF所成的角,B1G=C1B12+C1G2=12+12=2,B1F=B1B2+BF2=22+12=5,GF=CG2+CB2+BF2=3,B1G2+FG2=B1
5、F2,B1GF=90.答案908.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求AA1与B1D所成角的余弦值.解B1BA1A,BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角,连接BD.在RtB1BD中,设正方体的棱长为1,则B1D=3.cosBB1D=BB1B1D=13=33.故AA1与B1D所成的角的余弦值为33.9.导学号91134012如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证:(1)D1EBF;(2)B1BF=D1EA1.证明(1)取BB1的中点M,连接EM,C1M.在矩形ABB1A1中,易得EM=A1B1,EMA1B1.A1B1=C1D1,且A1B1C1D1,EM=C1D1,且EMC1D1.四边形EMC1D1为平行四边形.D1EC1M.在矩形BCC1B1中,易得MB=C1F,且MBC1F.BFC1M,D1EBF.(2)由(1)知,ED1BF,BB1EA1.B1BF与D1EA1的对应边方向相同,B1BF=D1EA1.
