1、第六章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性课后篇巩固提升基础达标练1.(2020云南昆明高三一模)设f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图像如图所示,则y=f(x)的图像可能是()解析根据导函数图像,y=f(x)的递增区间为(-3,-1),(0,1),递减区间为(-1,0),(1,3),观察选项可得D符合,故选D.答案D2.函数y=x+xln x的单调递减区间是()A.(-,e-2)B.(0,e-2)C.(e-2,+)D.(e2,+)解析因为y=x+xlnx,所以定义域为(0,+).令y=2+lnx0,解得0xe-2,即函数y=x+xlnx的单调递减区
2、间是(0,e-2),故选B.答案B3.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-,+)上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-,-3)3,+)B.-3,3C.(-,-3)(3,+)D.(-3,3)解析f(x)=-3x2+2ax-10在(-,+)上恒成立,且不恒为0,则=4a2-120,解得-3a3.答案B4.(2020江西南昌高三期末)下列函数既是奇函数且又在区间(0,+)上单调递增的是()A.y=x2+xB.y=xln xC.y=x3-3xD.y=32x-sin3x解析由题意,知A选项中y=x2+x为非奇非偶函数,故A选项不正确,B选项中,y=xlnx为非奇非偶函数,故B选项不正确,
3、C选项中,y=x3-3x是奇函数,求导得y=3x2-3,当y0时,有x1或x-1,故y=x3-3x在(0,+)上不单调递增,故C选项不正确,D选项中,y=32x-sin3x是奇函数,求导得y=32-3sin2xcosx=32(1-sin2xsinx),又-1sin2x1,-1sinx1,故y0恒成立,满足在(0,+)上单调递增,故D选项正确.故选D.答案D5.(2020江西南昌高二月考)设a=e,b=ln,c=3ln3,则a,b,c的大小关系是()A.acbB.bcaC.cbaD.cab解析考察函数f(x)=xlnx,则f(x)=lnx-1(lnx)2,f(x)在(e,+)上单调递增,e3,f
4、(e)f(3)f(),即elne3ln3ln,acb,故选A.答案A6.(多选)(2020山东济南高三模拟)已知定义在0,2上的函数f(x),f(x)是f(x)的导函数,且恒有cos xf(x)+sin xf(x)2f4B.3f6f3C.f63f3D.2f63f4解析设g(x)=f(x)cosx,则g(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2x,因为x0,2时,cosxf(x)+sinxf(x)0,所以x0,2时,g(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2xg3,g6g4,即f632f312,即f63f3,f632f422,即2f63f4.故选CD.答案CD7.函数f(x)=
5、x2e-x在区间(-,0)上的单调性为.解析依题意,f(x)=x2ex,所以f(x)=2x-x2ex=x(2-x)ex,故函数在(-,0)上单调递减.答案单调递减8.(2020六盘山高级中学高二期末)已知函数f(x)=x3+ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是.解析由题意,得f(x)=3x2+a0在R上恒成立,即a-3x2恒成立,故a0,所以a的取值范围是0,+).答案0,+)9.(2020广东石门中学高二月考)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x-2,求:(1)函数y=f(x)的图像在点(0,f(0)处的切线方程;(2)f(x)的单调递减区间.解(1)f(x)=-3x2+6x+9,f(
6、0)=9=k,f(0)=-2,所以切点为(0,-2),切线方程为y=9x-2,一般方程为9x-y-2=0.(2)f(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),令f(x)0,解得x3,f(x)的单调递减区间为(-,-1和3,+).10.已知二次函数h(x)=ax2+bx+2,其导函数y=h(x)的图像如图所示,f(x)=6ln x+h(x).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在区间1,m+12上是单调函数,求实数m的取值范围.解(1)由已知,h(x)=2ax+b,其图像为直线,且过(0,-8),(4,0)两点,把两点坐标代入h(x)=2ax+b,8a+b=0,b=-8,
7、解得a=1,b=-8,h(x)=x2-8x+2,h(x)=2x-8,f(x)=6lnx+x2-8x+2.(2)f(x)=6x+2x-8=2(x-1)(x-3)x(x0).当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,3)3(3,+)f(x)+0-0+f(x)f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+),f(x)的单调递减区间为(1,3).要使函数f(x)在区间1,m+12上是单调函数,则1m+12,m+123,解得122,则f(x)2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+)C.(-,-1)D.(-,+)解析构造函数g(x)=f(x)-(2x+4),则g(-1)
8、=2-(-2+4)=0,又f(x)2.g(x)=f(x)-20,g(x)是R上的增函数.f(x)2x+4g(x)0g(x)g(-1),x-1.答案B2.(多选)(2020山东省山东师范大学附中高二月考)已知f(x)是可导的函数,且f(x)f(x)对于xR恒成立,则下列不等关系正确的是()A.f(1)ef(0),f(2 020)ef(0),f(1)e2f(-1)C.f(1)ef(0),f(1)ef(0),f(2 020)e2 020f(0)解析设g(x)=f(x)ex,所以g(x)=f(x)-f(x)ex,因为f(x)f(x),所以g(x)0,所以g(x)在R上是减函数,所以g(1)g(0),g
9、(2020)g(0),g(1)g(-1),即f(1)ef(0),f(2020)e2020f(0),f(1)0且x1.所以f(x)=lnx-1(lnx)2,令f(x)0,解得0x1或1x-1,要使bx(x+2),则b-1,故b的取值范围为(-,-1.答案(-,-15.已知函数y=f(x)的定义域为-32,3,且y=f(x)的图像如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f(x),则不等式xf(x)0的解集是.解析当x0,故xf(x)0成立;y=f(x)在-12,0上单调递减,因此f(x)0,故xf(x)0时,y=f(x)在(0,1)上单调递减,因此f(x)0,故xf(x)0,故xf(x)0不成立,所
10、以xf(x)0的解集是-32,-12(0,1).答案-32,-12(0,1)6.已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,aR.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若a=-1,求f(x)的单调区间.解f(x)=(ax+2a+1)xex.(1)若a=1,则f(x)=(x+3)xex,f(x)=(x2+x-1)ex,所以f(1)=4e,f(1)=e.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.(2)若a=-1,则f(x)=-(x+1)xex.令f(x)=0,解得x1=-1,x2=0.
11、当x(-,-1)时,f(x)0;当x(0,+)时,f(x)1,f(x)0k-1x,k-1.g(x)在(0,1)上为增函数,则对于任意x(0,1),g(x)0k-1x,k-1.综上所述,k=-1.(2)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1-ax2-2x=x2-2x-ax2.当=4+4a0,即a-1时,得x2-2x-a0,则f(x)0.函数f(x)在(0,+)上单调递增.当=4+4a0,即a-1时,令f(x)=0,得x2-2x-a=0,解得x1=1-1+a,x2=1+1+a0.()若-1a0,x(0,+),f(x)在(0,1-1+a),(1+1+a,+)上单调递增,在(1-1+a,1+1
12、+a)上单调递减.()若a0,则x10,当x(0,1+1+a)时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,1+1+a)上单调递减,在区间(1+1+a,+)上单调递增.素养培优练(2020枣庄第三中学高二月考)已知函数f(x)=ax2ex-1(a0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)已知a0且x1,+),若函数f(x)没有零点,求a的取值范围.解(1)f(x)=2axex+ax2ex=axex(2+x),令f(x)=0,则x=0或x=-2.若a0,当x0,f(x)单调递增;当-2x0时,f(x)0时,f(x)0,f(x)单调递增.若a0,当x-2时,f(x)0,f(x)单调递减;当-2x0,f(x)单调递增;当x0时,f(x)0时,f(x)的单调递增区间为(-,-2和0,+),单调递减区间为-2,0;当a0时,由(1)可知,f(x)在x1,+)上单调递增,若函数没有零点,则f(1)=ae-10,解得a1e,故a的取值范围为1e,+.
