1、8.2.4三角恒等变换的应用第1课时半角的正弦、余弦和正切课后篇巩固提升基础达标练1.设a=12cos 6-32sin 6,b=2sin 13cos 13,c=1-cos502,则有()A.abcB.abcC.acbD.bca解析因为a=sin24,b=sin26,c=sin25,所以acb.答案C2.cos40cos251-sin40的值为()A.1B.3C.2D.2解析原式=cos220-sin220cos25(cos20-sin20)=cos20+sin20cos25=2cos25cos25=2.答案C3.(多选)已知函数f(x)=cos2x-1sin2x,则有()A.函数f(x)的图像
2、关于直线x=2对称B.函数f(x)的图像关于点2,0对称C.函数f(x)的最小正周期为2D.函数f(x)在0,2内单调递减解析因为f(x)=cos2x-1sin2x=-2sin2x2sinxcosx=-tanx,所以f(x)的图像不是轴对称图形,关于点2,0对称,最小正周期为,在0,2内单调递减.答案BD4.已知sin =-817,且,32,则sin2=,cos2=,tan2=.解析32,cos=-1517.2234,sin2=1-cos2=41717.cos2=-1+cos2=-1717.tan2=sin2cos2=-4.答案41717-1717-45.若4,2,sin 2=378,则sin
3、 =.解析由于4,2,则22,所以cos20.因为sin2=378,所以cos2=-1-sin22=-1-(378)2=-18.所以sin=1-cos22=1-(-18)2=34.答案346.已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,3).(1)求tan(-)+sin2+cos(-)sin(-3-)的值;(2)求tan 2+tan2的值.解(1)由题意得sin=12,cos=-32,tan=-33,则原式=-tan+cos(-cos)sin=33-323212=-23.(2)tan2=2tan1-tan2=-3,tan2=sin1+cos=121-32=2+3.故t
4、an2+tan2=2.能力提升练1.若cos =-45,是第三象限角,则1+tan21-tan2=()A.-12B.12C.2D.-2解析因为是第三象限角,cos=-45,所以sin=-35.所以1+tan21-tan2=1+sin2cos21-sin2cos2=cos2+sin2cos2-sin2=cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2cos2+sin2=1+sincos=1-35-45=-12.答案A2.(多选)已知函数f(x)=cos2x-sin2x+1,则()A.f(x)的对称轴为x=4+k2(kZ)B.f(x)的对称轴为x=k2(kZ)C.f(x)的最小正周期为,最大
5、值为2D.f(x)的最小正周期为2,最大值为1解析f(x)=cos2x+1,故T=22=,f(x)max=1+1=2.f(x)的对称轴为2x=k(kZ),x=k2(kZ),故选BC.答案BC3.已知f(x)=sin2x+4,若a=f(lg 5),b=flg15,则()A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=1解析f(x)=1-cos2x+22=1+sin2x2,a=1+sin(2lg5)2,b=1+sin2lg152=1-sin(2lg5)2,a+b=12+12sin(2lg5)+12-12sin(2lg5)=1.答案C4.若sin(-)=45,0,2,则sin 2-cos22的
6、值等于.解析sin(-)=45,sin=45.又0,2,cos=35.sin2-cos22=2sincos-12(1+cos)=425.答案4255.化简:sin+sin2cos+cos2+1=.解析sin+sin2cos+cos2+1=2sin2cos2+sin22cos22-1+cos2+1=2sin2(cos2+12)2cos2(cos2+12)=tan2.答案tan 26.已知sin4+2sin4-2=14,4,2,求2sin2+tan -1tan-1的值.解因为sin4+2sin4-2=14,所以2sin4+2cos4+2=12,即sin2+4=12.所以cos4=12.而2sin2
7、+tan-1tan-1=-cos2+sin2-cos2sincos=-cos2+2tan2.因为4,2,所以22,.所以cos2=-1+cos42=-32,tan2=-1-cos41+cos4=-33.所以-cos2+2tan2=-32+2-33=523,即2sin2+tan-1tan-1的值为532.素养培优练设a=(1+cos ,sin ),b=(1-cos ,sin ),c=(1,0),(0,),(,2),a与c的夹角为1,b与c的夹角为2,且1-2=6,求sin-8的值.解由题意得cos1=ac|a|c|=1+cos2+2cos=1+cos2=cos2.因为10,20,2,所以1=2.同理,cos2=bc|b|c|=1-cos2=sin2=cos2-2,因为20,2-20,2,所以2=2-2.将1=2,2=2-2代入1-2=6中,得-2=-3,故sin-8=sin-12=sin4-3=2-64.
