1、3.3.3函数的最大(小)值与导数课后篇巩固提升1.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间0,1上的最小值为()A.-1B.0C.-D.解析g(x)=x3-x,由g(x)=3x2-1=0,解得x1=,x2=-(舍去).当x变化时,g(x)与g(x)的变化状态如下表:x01g(x)-0+g(x)0单调递减-单调递增0所以当x=时,g(x)有最小值g=-.答案C2.函数y=f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为()A.-eB.1-eC.-1D.0解析y=-1,令y=0,x=1,列表如下:x(0,1)1(1,e)ey+0-y单调递增-1单调递减1-e由于f(e)=1-e,而-11
2、-e,从而y最大值=f(1)=-1.答案C3.函数y=()A.有最大值2,无最小值B.无最大值,有最小值-2C.最大值为2,最小值为-2D.无最值解析y=,令y=0,得x=1,容易验证当x=-1时,函数取极小值f(-1)=-2,当x=1时函数取极大值f(1)=2.又因为当x=0时,y=0,当x0时,y0时,y0,据此可以画出函数的大致图象如下:由图象可知,函数的最大值为f(1)=2,函数的最小值为f(-1)=-2.答案C4.若函数f(x)=在-2,2上的最大值为2,则实数a的取值范围是()A.B.C.(-,0D.解析当x0时,f(x)=6x2+6x,易知函数f(x)在(-,0上的最大值点是x=
3、-1,且f(-1)=2,故只要在(0,2上,eax2恒成立即可,即axln 2在(0,2上恒成立,即a在(0,2上恒成立,故aln 2.答案D5.已知函数f(x)=(2x-x2)ex,给出下列判断:f(x)0的解集是x|0x0,得2x-x20,所以0x0)的最小值为.解析y=1+(-2)=1-,所以当x1时,y0,当0x1时,yf(-2).因为f(x)=-3x2+6x+9=-3(x-3)(x+1)0在-1,2上恒成立,所以f(x)在-1,2上单调递增.又由于f(x)在-2,-1上单调递减,f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值.于是有f(2)=22+a=20,解得a
4、=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2.因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7.答案-78.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为.解析因为函数f(x)的图象始终在g(x)的上方,所以|MN|=f(t)-g(t)=t2-ln t.设h(t)=t2-ln t,则h(t)=2t-,令h(t)=0,得t=,所以h(t)在内单调递减,在内单调递增,所以当t=时有最小值,故t=.答案9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线方程为y=3x
5、+1.(1)求a,b的值;(2)求y=f(x)在-3,1上的最大值.解(1)依题意可知点P(1,f(1)为切点,代入切线方程y=3x+1,可得f(1)=31+1=4,所以f(1)=1+a+b+5=4,即a+b=-2.又由f(x)=x3+ax2+bx+5,得f(x)=3x2+2ax+b,而由切线方程y=3x+1的斜率可知f(1)=3,因此3+2a+b=3,即2a+b=0,联立解得(2)由(1)知f(x)=x3+2x2-4x+5,f(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),令f(x)=0,得x=或x=-2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-3(-3,-2)-21f(x)+
6、0-0+f(x)8单调递增极大值单调递减极小值单调递增4因此f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为f.又f(-3)=8,f(1)=4,故f(x)在-3,1上的最大值为13.10.设函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x(aR),求函数f(x)在区间a2,a上的最大值.解因为a2a,所以0a0.所以f(x)在上单调递增,在内单调递减.当0a时,f(x)在a2,a上单调递增,所以f(x)max=f(a)=ln a-a3+a2-2a;当a时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)max=f-1-ln 2;当a2,即a1时,f(x)在a2,a上单调递减,所以f(x)max=f(a2)=2ln a-a5+a3-2a2.综上,当0a时,函数f(x)在a2,a上的最大值是ln a-a3+a2-2a;当a时,函数f(x)在a2,a上的最大值是-1-ln 2;当a0,解得x;令f(x)0,解得0x1时,因为g(x)=0,故g(x)是(1,+)内的增函数,所以g(x)的最小值是g(1)=1,所以a的取值范围是(-,1.
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