1、3.3.2函数的极值与导数课后篇巩固提升1.若函数f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6,则a的值是()A.0B.1C.5D.6解析f(x)=2x3-3x2+a,f(x)=6x2-6x=6x(x-1),令f(x)=0,得x=0或x=1,经判断易知极大值为f(0)=a=6.答案D2.函数y=x4-x3的极值点的个数为()A.0B.1C.2D.3解析y=x3-x2=x2(x-1),由y=0得x1=0,x2=1.当x变化时,y,y的变化情况如下表:x(-,0)0(0,1)1(1,+)y-0-0+y单调递减无极值单调递减极小值单调递增因此函数只有一个极值点.答案B3.已知x=是函数f(x)=xln(
2、ax)+1的极值点,则a=()A.B.1C.D.2解析f(x)=ln(ax)+1,由f=0,得a=1.即f(x)=ln x+1,当x时,f(x)0;当0x时,f(x)0得m的取值范围.答案B5.已知a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为()A.2B.3C.6D.9解析f(x)=4x3-ax2-2bx+2,f(x)=12x2-2ax-2b.又f(x)在x=1处取得极值,f(1)=12-2a-2b=0.a+b=6,t=ab=9(当且仅当a=b=3时等号成立),tmax=9.故选D.答案D6.函数f(x)=(aR)的极大值等于.解析函数f(
3、x)的定义域为(0,+),f(x)=,令f(x)=0,得x=e1-a,当0x0;当xe1-a时,f(x)0,所以函数的极大值等于f(e1-a)=ea-1.答案ea-17.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为.解析由题意,f(x)=3x2+2x-a,则f(-1)f(1)0,即(1-a)(5-a)0,解得1a5,另外,当a=1时,函数f(x)=x3+x2-x-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,当a=5时,函数f(x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)没有极值点.故实数a的范围为1,5).答案1,5)8.已知函数f(x)=x3+ax2
4、+bx+4在x=1处取得极值.(1)求a,b的值;(2)求函数的另一个极值.解(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4,所以f(x)=3x2+2ax+b.依题意可得f(1)=0,f(1)=,即解得a=-,b=-2.(2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+4,f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).令f(x)=0,得x=-或x=1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(1,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的另一个极值在x=-处取得,是极大值,极大值为f.9.已知函数f(x)=(aR,且a0).(1)当a=1时,求曲线y=
5、f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当a=-1时,求证:f(x)x+1;(3)讨论函数f(x)的极值.(1)解当a=1时,f(x)=.所以f(x)=.因为f(1)=1,f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.(2)证明当a=-1时,f(x)=.函数f(x)的定义域为(-,0).不等式f(x)x+1成立x+1成立ln(-x)-x2-x0成立.设g(x)=ln(-x)-x2-x(x0时,f(x)的定义域为(0,+).当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:xf(x)+0-f(x)极大值此时f(x)有极大值f,无极小值.当a0时,f(x)的定义域为(-,0),当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:xf(x)-0+f(x)极小值此时f(x)有极小值f,无极大值.
