1、第四章三角恒等变换1同角三角函数的基本关系1.1基本关系式1.2由一个三角函数值求其他三角函数值1.3综合应用课后篇巩固提升基础达标练1.已知tan =2,则2sin+3cossin-cos=()A.-2B.3C.6D.7解析由tan=2,得2sin+3cossin-cos=2tan+3tan-1=22+32-1=7.答案D2.在ABC中,若cos(A+B)0,sin C=13,则tan C等于()A.24B.-24C.24D.12解析由cos(A+B)0知,-cosC0,即cosC0,又sinC=13,所以cosC=-1-132=-223,故tanC=sinCcosC=-24.答案B3.若s
2、in-2cos3sin+5cos=-5,则tan 的值为()A.-2B.2C.2316D.-2316解析由已知可得tan-23tan+5=-5,解得tan=-2316.答案D4.记cos(-80)=k,那么tan 100=()A.1-k2kB.-1-k2kC.k1-k2D.-k1-k2解析因为sin80=1-cos280=1-cos2(-80)=1-k2,所以tan100=-tan80=-sin80cos80=-1-k2k.答案B5.(多选)下列结论中成立的是()A.sin =12且cos =12B.tan =2 020且cossin=12020C.tan =1且cos =22D.sin =1
3、且tan cos =1解析因为sin2+cos2=121,所以A错误;因为cossin=12020,即tan=2020,所以B正确;因为tan=1,所以=k+4(kZ),所以cos=22,所以C正确;因为sin=1时,角的终边落在y轴的非负半轴上,此时tan无意义,所以D错误.答案BC6.(多选)已知sin -cos =13(0),则下列选项正确的是()A.sin cos =49B.sin +cos =173C.cos4+sin4=79D.cos4+sin4=4981解析sin-cos=13两边平方,得(sin-cos)2=1-2sincos=19,即2sincos=89,则sincos=49
4、,选项A正确.因为00,因为sincos=490,所以cos0.因为(sin+cos)2=1+2sincos=1+89=179,所以sin+cos=179=173,选项B正确.cos4+sin4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-2492=4981,选项D正确,选项C错误.故选ABD.答案ABD7.已知tan =-2,且为第二象限角,则sin =,cos =.解析因为为第二象限角,所以sin0,cos0,所以内角A为锐角,所以sinA+cosA=1+2sinAcosA=1+23=153.答案A2.化简2sin41-cos24+1-sin23cos3的结果为()A.-3B.-1C
5、.1D.3解析2sin41-cos24+1-sin23cos3=2sin4sin24+cos23cos3,因为sin40,cos30,cos0,所以cos-sin0,因为(cos-sin)2=1-2sincos=1-2-38=74,所以cos-sin=-72,所以1-tan1+tan=1-sincos1+sincos=cos-sincos+sin=-7212=-7.答案A5.化简1-2sin4cos4的结果是()A.sin 4+cos 4B.sin 4-cos 4C.cos 4-sin 4D.-(sin 4+cos 4)解析先判断4是第几象限角,再比较sin4与cos4的大小.因为544cos
6、4sin4,所以1-2sin4cos4=(sin4-cos4)2=|sin4-cos4|=cos4-sin4,故选C.答案C6.已知cos2+4sin cos +4sin2=5,则tan =.解析由题意知cos2+4sincos+4sin2cos2+sin2=1+4tan+4tan21+tan2=5,整理得tan2-4tan+4=0,所以tan=2.答案27.证明:cos4-sin41+2sin(-)cos(+)=1+tan1-tan.证明左边=(cos2+sin2)(cos2-sin2)cos2+sin2-2sincos=(cos+sin)(cos-sin)(cos-sin)2=cos+si
7、ncos-sin=coscos+sincoscoscos-sincos=1+tan1-tan=右边,故原等式成立.素养培优练1.若sin +cos =1,则sinn+cosn(nZ)的值为.解析因为sin+cos=1,所以(sin+cos)2=1,又sin2+cos2=1,所以sincos=0,所以sin=0或cos=0,当sin=0时,cos=1,此时有sinn+cosn=1;当cos=0时,sin=1,也有sinn+cosn=1,所以sinn+cosn=1.答案12.已知tan2=2tan2+1,求证:sin2=2sin2-1.证明法一:因为tan2=2tan2+1,所以tan2=tan2
8、-12.因为tan2=sin2cos2,所以tan2=sin21-sin2,所以sin2=sin2sin2+cos2=sin2cos2sin2cos2+cos2cos2=tan21+tan2.由,得sin2=tan2-121+tan2-12=tan2-1tan2+1=sin2cos2-1sin2cos2+1=sin2-cos2sin2+cos2=2sin2-1.法二:因为tan2=2tan2+1,所以tan2+1=2(tan2+1).所以sin2+cos2cos2=2sin2+cos2cos2.所以1cos2=2cos2.所以cos2=2cos2.所以1-sin2=2(1-sin2).所以sin2=2sin2-1.
