1、4平行关系4.1直线与平面平行课后篇巩固提升基础达标练1.已知直线l平面,P,那么过点P且平行于l的直线()A.只有一条,不在平面内B.只有一条,在平面内C.有两条,不一定都在平面内D.有无数条,不一定都在平面内解析如图所示,因为直线l平面,P,所以直线l与点P确定一个平面,=m,所以Pm,所以lm且m是唯一的.答案B2.如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH平面SCD,则()A.GHSAB.GHSDC.GHSCD.以上均有可能解析因为GH平面SCD,GH平面SBD,平面SBD平面SCD=SD,所以GHSD,显然GH与SA,SC均不平行,故选B.答案B3.如图
2、,四边形ABDC是梯形,ABCD,且AB平面,M是AC的中点,BD与平面交于点N,AB=4,CD=6,则MN等于()A.4.5B.5C.5.4D.5.5解析因为AB平面,AB平面ABDC,平面ABDC平面=MN,所以ABMN.又M是AC的中点,所以MN是梯形ABDC的中位线,故MN=12(AB+CD)=5.答案B4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的关系是.解析因为ACA1C1,A1C1平面A1B1C1D1,AC平面A1B1C1D1,所以AC平面A1B1C1D1.因为平面ACB1平面A1B1C1D1=l,所以A
3、Cl.答案平行5.如图所示,直线a平面,A,并且a和A位于平面两侧,点B,Ca,直线AB,AC分别交平面于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,则EF=.解析由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面,所以=EF.因为a平面,a平面,所以EFa.所以EFBC=AFAC.所以EF=AFBCAC=345+3=32.答案326.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点,求证:EF平面AD1G.证明连接BC1,则由E,F分别是BC,CC1的中点知,EFBC1.又ABD1C1,且AB=D1C1,所以四边形ABC1D1是平行四边形,所以BC1AD1,
4、所以EFAD1.又EF平面AD1G,AD1平面AD1G,所以EF平面AD1G.能力提升练1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点,D是AA1上的动点,且ADDA1=m,若AE平面DB1C,则m的值为()A.12B.1C.32D.2解析如图,取CB1的中点G,连接GE,DG,当m=1时,AD=GE=12BB1,且ADGE,所以四边形ADGE为平行四边形,则AEDG,因为AE平面DB1C,DG平面DB1C,所以AE平面DB1C.答案B2.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=a3,过
5、P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=.解析因为MN平面AC,平面PMN平面AC=PQ,所以MNPQ,易知DP=DQ=2a3,故PQ=PD2+DQ2=2DP=22a3.答案223a3.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.证明:直线EE1平面FCC1.证明如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中点F1,连接A1D,C1F1,CF1,FF1.因为FF1BB1CC1,所以F1F平面FCC1,所以平面FCC1即为平面C1CFF1.因为AB=4
6、,CD=2,且ABCD,所以CDA1F1,且CD=A1F1,所以A1F1CD为平行四边形,所以CF1A1D.又E,E1分别是棱AD,AA1的中点,所以EE1A1D,所以CF1EE1,又EE1平面FCC1,CF1平面FCC1,所以直线EE1平面FCC1.4.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体,截面为ABC.已知AA1=4,BB1=2,CC1=3.在边AB上是否存在一点O,使得OC平面A1B1C1?解存在.取AB的中点O,连接OC.作ODAA1交A1B1于点D,连接C1D,则ODBB1CC1.因为O是AB的中点,所以OD=12(AA1+BB1)=3=CC1,则四边形OD
7、C1C是平行四边形,所以OCC1D.又C1D平面C1B1A1,且OC平面C1B1A1,所以OC平面A1B1C1.即在边AB上存在一点O,使得OC平面A1B1C1.素养培优练将一块边长为8 cm的正方形铁皮按如图所示的阴影部分裁下,其中分点均为所在边的四等分点,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心的四棱锥)形的容器如图所示(不考虑接头部分的材料损耗).(1)若E为棱PC的中点,求证:PA平面BDE;(2)求异面直线PB与AD所成角的余弦值.(1)证明连接AC,交BD于点F,则F为AC的中点,连接EF,因为E为PC的中点,所以EFPA.因为EF平面BDE,PA平面BDE,所以PA平面BDE.(2)解因为BCAD,所以CBP就是异面直线PB与AD所成角,在CBP中,BC=4,PB=PC=25,由余弦定理得cosCBP=(25)2+42-(25)22254=55,所以异面直线PB与AD所成角的余弦值为55.
