1、6平面向量的应用6.1余弦定理与正弦定理第1课时余弦定理课后篇巩固提升基础达标练1.(2020山东高一月考)已知ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c,c=7,b=1,C=23,则a=()A.5B.2C.3D.3解析由余弦定理推论可得,cosC=a2+b2-c22ab=a2+1-72a=-12,整理可得a2+a-6=0,解得a=2.故选B.答案B2.(2019北京十五中高一期中)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3,b=4,C=60,则c的值等于()A.5B.13C.13D.37解析由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=9+16-2412=13,所以c=13.故选
2、C.答案C3.(2019海南高二期末(文)在ABC中,AB=3,BC=7,A=120,则AC=()A.5B.6C.8D.79解析根据余弦定理AC2+AB2-BC2=2ABACcosA,代入数据,得到AC2+3AC-40=0,解得AC=5.故选A.答案A4.(2019广东执信中学高三月考(理)在ABC中,已知B=34,BC边上的高恰为BC边长的一半,则cos A=()A.255B.55C.23D.53解析作AHCB交CB延长线上一点H,又知ABC=34.所以AHB为等腰直角三角形,设BC=2a,则AB=2a,AH=a,CH=3a,由勾股定理得AC=10a,根据余弦定理得cosBAC=2a2+10
3、a2-4a222a10a=255.故选A.答案A5.(2019中央民族大学附属中学高一月考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,则角A的大小为.解析因为b2+c2=a2+bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.因为A为ABC的内角,所以A=60.答案606.(2019北京人大附中高三开学考试)在ABC中,a=3,b=13,B=60,则c=,ABC的面积为.解析由余弦定理,得9+c2-23c12=13,解得c=4;由三角形的面积公式,得S=12acsinB=123432=33.答案433能力提升练1.若ABC的内角A,B,C所
4、对应的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60,则ab的值为()A.8-43B.1C.43D.23解析因为ABC的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,所以c2=(a+b)2-4=a2+b2+2ab-4.又C=60,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,所以2ab-4=-ab,所以ab=43.故选C.答案C2.(2020四川阆中中学高三月考(理)在解三角形的问题中,其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a,b,c直接求三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了海伦公式即S=p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=12(a+
5、b+c).我国南宋著名数学家秦九韶(约12021261)也在数书九章里面给出了一个等价解法,这个解法写成公式就是S=14(c2a2-2).这个公式中的应该是()A.a+c+b22B.a+c-b2C.c2+a2-b22D.a+b+c2解析因为c2+a2-b22=accosB,所以14(c2a2-c2a2cos2B)=12acsinB=S.故选C.答案C3.(2019北京清华附中高三月考(理)在ABC中,A=60,a=7,b=3,则c=.解析由余弦定理可得,(7)2=32+c2-23c12,整理得c2-3c+2=0,解得c=1或2.答案1或24.(2020白城市第四中学高一月考)在钝角三角形ABC
6、中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=1,b=3,则最大边c的取值范围是.解析由题意知3-1c3+1,即2c4,又ABC为钝角三角形,C为最大边,所以cosC0,所以根据余弦定理得,a2+b2-c210,解得c10.所以10c4,故最大边c的取值范围是(10,4).答案(10,4)5.(2020北京市第十三中学高三开学考试)已知ABC同时满足下列四个条件中的三个:A=3;cos B=-23;a=7;b=3.(1)请指出这三个条件,并说明理由;(2)求ABC的面积.解(1)ABC同时满足.理由如下:因为cosB=-2323.若ABC同时满足,则A+B,显然不成立.所以ABC只能同时
7、满足,.所以ab,所以AB,故ABC不满足.故ABC满足.(2)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,即72=32+c2-23c12.解得c=8或c=-5(舍去).所以ABC的面积S=12bcsinA=63.素养培优练如图,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30,45,60,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为多少?解设建筑物的高度为hm,由题图知,PA=(2h)m,PB=(2h)m,PC=233hm,在PBA和PBC中,分别由余弦定理,得cosPBA=602+2h2-4h22602h,cosPBC=602+2h2-43h22602h.因为PBA+PBC=180,所以cosPBA+cosPBC=0.由,解得h=306或h=-306(舍去),即建筑物的高度为306m.
