1、预习课本P2527，思考并完成以下问题(1)公理4的内容是什么？(2)等角定理的内容是什么？有什么作用？(3)异面直线所成的角的定义是什么？求角的方法是什么？第二课时 公理4及等角定理一、预习教材问题导入1公理4(1)文字语言：平行于的两条直线平行(2)符号表述：ab，bc.2两条直线的位置关系(1)共面直线平行直线：特征：在同一平面内记法：直线m与直线n平行，记作.同一条直线acmn没有公共点二、归纳总结核心必记相交直线特征：在同一平面内公共点记法：直线m与直线n相交于点A，记作.(2)异面直线：特征：的两条直线，没有公共点3等角定理空间中，两个角的两条边分别对应，这两个角有且只有一个mnA
2、不共面平行相等或互补点睛(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补4异面直线所成的角前提两条异面直线 a，b作法过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a，b的平行线 l1，l2定义结论这两条相交直线所成的_即为异面直线 a，b 所成的角范围记异面直线 a 与 b 所成的角为，则特殊情况当 时，a 与 b 互相垂直，记作09090ab锐角(或直角)点睛 对异面直线所成角的两点说明(1)两条异面直线所成的角，是借用平面几何中的角的概念定义的，是研究空间两条直
3、线位置关系的基础(2)等角定理为两条异面直线所成的角的定义提供了理论依据，即过空间任一点，引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间中不相交的两条直线是异面直线()(2)两条异面直线所成的角一定是锐角()(3)和两条异面都相交的两直线必是异面直线()三、基本技能素养培优2空间任意两个角，且与的两边对应平行，60，则为()A60 B120C30D60或120答案：D3如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A共面 B平行C异面D平行或异面解析：选D 空间中两直线的位置关系
4、有：相交；平行；异面两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面4如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1与A1C1所成角的大小是_答案：60 典例 如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，E，F，E，F分别是AB，BC，AB，BC的中点，求证：EEFF.考点一 公理 4 及等角定理的应用证明 因为E，E分别是AB，AB的中点，所以BEBE，且BEBE，所以四边形EBBE是平行四边形，所以EEBB，同理可证FFBB.所以EEFF.1证明两条直线平行的方法(1)公理 4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何
5、知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点2运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法：(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补 类题通法针对训练1在本例中，若 M，N 分别是 AD，CD的中点，求证：四边形 ACNM 是梯形证明：如图所示，连接AC，M，N分别是AD，DC的中点，MNAC且MN12AC.由正方体的性质可知：ACAC，且ACAC，MNAC，且MN12AC，四边形MNCA是梯形2将本例变为：已知 E，E1 分别是正方体 ABCD-A1
6、B1C1D1的棱 AD，A1D1 的中点，求证：BECB1E1C1.证明：如图所示，连接 EE1.因为 E，E1 分别是 AD，A1D1 的中点，所以 AEA1E1，且 AEA1E1.所以四边形 AEE1A1 是平行四边形所以 AA1EE1，且 AA1EE1.又因为 AA1BB1，且 EE1BB1.所以四边形 BEE1B1 是平行四边形所以 BEB1E1.同理可证 CEC1E1.又BEC 与B1E1C1 的两边方向相同，所以BECB1E1C1.典例 如图所示，已知三棱锥A-BCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角解 如图，取AC的中
7、点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所以PMAB，且PM12AB；PNCD，且PN12CD，所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角所以PMN(或其补角)为AB与MN所成的角考点二 异面直线及所成的角因为直线AB与CD成60角，所以MPN60或MPN120.又因为ABCD，所以PMPN，(1)若MPN60，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.(2)若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上，直线AB与MN所成的角为60或30.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出
8、异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括同时注意异面直线所成角 的范围是 090.类题通法针对训练如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1AB2，AD1，点 E，F，G 分别是 DD1，AB，CC1 的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是_ 解析：如图，连接 EG，GB1，可得 A1B1 綊 EG，所以四边形A1B1GE 为平行四边形，所以 A1EB1G，连接 FB1，则FGB1 就是异面直线所成的角因为 FB1 5，GB1 2，FG CG2CF2 111 3，所以 FB21FG2GB21，即FGB190.答案：90 “多练悟素养提升”见“课时跟踪检测(五)”(单击进入电子文档)
